曲げとねじりは、足し算では合わさらない曲げとねじりを同時に受ける軸

ベルトで回す軸は、曲がってもいる

工場の送風機や、脱穀機、古い工作機械。モータの回転を、ベルトで別の軸へ送る機械はたくさんあります。

上の軸は、ベルト車に回されています。軸は、ねじられています。ここまでは、材料力学の 丸軸のねじり で見たとおりです。

ところが、ベルトは、ベルト車を引っぱってもいます。ベルトをゆるく張ると、すべって回りません。だから、ベルトはいつも強く張ってあります。その張力が、ベルト車ごと、軸を横へ引きます。

軸の両端は、軸受で支えてあります。まん中を横へ引かれた軸は、両端で支えたはりと同じです。曲げられています。

ベルト車の軸は、ねじりと曲げを、同時に受けています。

張力の差でねじり、張力の和で曲げる

ベルトの2本のうち、モータに引かれて張っているほうを張り側、送り出されてゆるんでいるほうをゆるみ側といいます。張り側の張力が大きく、ゆるみ側は小さくなります（くわしくは機構学の ベルトとプーリ）。

ベルト車を回す向きには、2本が反対に効きます。だから、軸をねじるのは、張力の差です。

ベルト車を横へ引く向きには、2本が同じ向きに効きます。だから、軸を曲げるのは、張力の和です。

この単元の軸で、数を決めます。

• ベルト車の直径 400 mm（半径 0.2 m）
• 張り側 2,500 N、ゆるみ側 500 N（2本とも水平に引く）
• 軸受の間 400 mm、ベルト車はそのまん中

$$\sksT = (2500 - 500)\ \mathrm{N} \times 0.2\ \mathrm{m} = 400\ \mathrm{N\cdot m}$$

軸を横へ引く力は、2,500 + 500 = 3,000 N です。両端で支えた軸のまん中に 3,000 N がかかると、まん中の曲げモーメントは「力 × 軸受の間 ÷ 4」です（材料力学の せん断力図と曲げモーメント図）。

$$\skjM = \dfrac{3000\ \mathrm{N} \times 0.4\ \mathrm{m}}{4} = 300\ \mathrm{N\cdot m}$$

ねじり 400 N·m と、曲げ 300 N·m。この2つを同時に受ける軸は、どれだけ太くすればよいでしょうか。

予想してから読む曲げ 300 N·m とねじり 400 N·m を同時に受ける軸。太さを決めるとき、1つのねじりに置きかえると何 N·m？

A400 N·m（大きいほうだけ）B500 N·mC700 N·m（足し算）

置きかえて、1本のねじりで決める

太さを決める式は、2行です。

$$\skjTe = \sqrt{\skjM^2 + \sksT^2}, \qquad \skjD = \left(\dfrac{16\,\skjTe}{\pi\,\sksTauA}\right)^{1/3}$$

1行目で、曲げとねじりを「同じ働きをする1本のねじり」に置きかえます。これを相当ねじりモーメントといいます。

2行目は、ねじりだけを受ける軸の太さの式です（材料力学の 中空軸と伝達動力 と同じ）。$\sksT$ の代わりに $\skjTe$ を入れるだけです。

$$\skjD = \left(\dfrac{16 \times 500{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{\pi \times 40\ \mathrm{N/mm^2}}\right)^{1/3} = 39.93\ \mathrm{mm}$$

N·m を N·mm に直すと、MPa（＝ N/mm²）と組み合わせて、答えが mm で出ます。

曲げとねじりは、直角に組む

なぜ、足し算ではなく、√ なのでしょうか。

軸の表面の1点を考えます。曲げは、その点を軸の向きに引っぱります（引張の応力 $\sigma$）。ねじりは、その点をずらします（せん断応力 $\tau$）。

$$\sigma = \dfrac{32\,\skjM}{\pi \skjD^3}, \qquad \tau = \dfrac{16\,\sksT}{\pi \skjD^3}$$

鋼のような、のびる材料が形を戻さなくなる（降伏する）のは、材料の中の面が、ずれるときです。だから、どの向きの面で、いちばん大きくずれるかを見ます。

面の向きを回しながら、その面のずれ（せん断応力）を調べると、いちばん大きいのは、次の値です（導き方は最後に畳んであります）。

$$\tau_{\max} = \sqrt{\left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2}$$

$\sigma$ の半分と $\tau$ が、直角三角形の2辺のように合わさります。ここに上の2つの式を入れます。$\sigma/2 = 16\,\skjM/(\pi \skjD^3)$ は、$\tau$ の式の $\sksT$ を $\skjM$ に変えただけの形です。

$$\tau_{\max} = \dfrac{16}{\pi \skjD^3}\sqrt{\skjM^2 + \sksT^2} = \dfrac{16\,\skjTe}{\pi \skjD^3}$$

$\skjM$ と $\sksT$ が、√ の中で同じ重みで合わさりました。これが $\skjTe$ です。300 と 400 なら、3：4：5 の直角三角形で、500 です。

下のシミュレータの図の左は、この三角形です。横の辺がねじり、縦の辺が曲げ、斜めの辺が $\skjTe$ です。

ものさしで確かめる：40 mm で足りるか

この科目では、計算で出た応力を目盛りとし、許してよい大きさを線として、ものさしの上に並べます。線と材料の強さの間が余白です（許容応力と安全率）。

必要な直径は 39.93 mm でした。実際の軸は、きりのよい太さで作ります。この単元では 5 mm きざみで切り上げて、40 mm を選びます。

選んだ太さで、もう一度、応力を出します。

$$\tau_{\max} = \dfrac{16 \times 500{,}000}{\pi \times 40^3} = 39.8\ \mathrm{MPa} \ \le\ 40\ \mathrm{MPa}$$

目盛りは、許容の線の内側です。直径 40 mm の軸で足ります。

求める → 選ぶ → 確かめる。この3つの順番は、この科目のどの部品でも同じです。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\skjD = \Big(\underbrace{\sqrt{\skjM^2 + \sksT^2}}_{\text{斜めの辺で合わさる}} \times \underbrace{\dfrac{16}{\pi\,\sksTauA}}_{\text{材料と形}}\Big)^{1/3}$$

1. 斜めの辺で合わさる　曲げとねじりの、大きいほうが主役です。小さいほうは、斜めの辺を少し伸ばすだけです。ねじり 400 に曲げ 300 を足しても、400 が 500 になるだけで、700 にはなりません。
2. 材料と形　$16/\pi$ は丸い断面から出る数です。許容せん断応力 $\sksTauA$ が大きい材料ほど、細くて済みます。

全体が $1/3$ 乗です。断面がねじりに耐える力は、直径の3乗で増えるからです。だから、$\skjTe$ が2倍になっても、直径は約 1.26倍で済みます。

どの数字がいちばん効く？

M = 300・T = 400・τa = 40 の軸から、1つずつ 10% 変えます。

いちばん効くのは、許容せん断応力です。どの材料を使い、どれだけ余白をとるかで決まる数です。$\skjM$ と $\sksT$ では、大きいほうの $\sksT$ がよく効きます。

動かしてみよう

曲げ $\skjM$ のスライダーを 0 にしてから、少しずつ上げてみてください。左の三角形の縦の辺が伸びても、斜めの辺は、はじめはほとんど伸びません。右の断面も、わずかに太くなるだけです。

許容せん断応力 $\sksTauA$ を下げると、右のものさしの線が左へ動き、選ぶ直径が太くなります。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、元の三角形と断面が薄く重なります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1曲げ M を 0 にする（ねじりだけの軸）（まだ）
2. 2曲げ M を、トルクと同じ 400 N·m にする（直径は 40 mm のまま）（まだ）
3. 3M = 300・T = 400 のまま、許容せん断応力を 30 MPa に下げ、使う直径 d を 45 mm にする（まだ）

M曲げモーメント−N·m＋

Tトルク−N·m＋

τa許容せん断応力−MPa＋

d使う直径−mm＋

いまの図を残して比べる必要な直径は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\tau_{\max}} = \dfrac{16\,\htmlClass{q-moment}{T_e}}{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^3}$$$$= \dfrac{16 \times 500{,}000}{\pi \times 40^3}$$$$= 39.8\ \mathrm{MPa}$$

相当ねじりモーメント

$\htmlClass{q-moment}{T_e} = 500\ \mathrm{N\cdot m}$

必要な直径

$\htmlClass{q-geometry}{d_{\mathrm{req}}} = 39.93\ \mathrm{mm}$

足りるいちばん細い直径（5 mm きざみ）

$\htmlClass{q-geometry}{d_{\min}} = 40\ \mathrm{mm}$

使う直径での最大せん断応力

$\htmlClass{q-stress}{\tau_{\max}} = 39.79\ \mathrm{MPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. 曲げとねじりを、1つのねじりに置きかえる（相当ねじりモーメント）

   $$\htmlClass{q-moment}{T_e} = \sqrt{\htmlClass{q-moment}{M}^2 + \htmlClass{q-moment}{T}^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\ \mathrm{N\cdot m}$$

2. 許容せん断応力から、必要な直径を出す

   $$\htmlClass{q-geometry}{d} = \left(\dfrac{16\,\htmlClass{q-moment}{T_e}}{\pi\,\htmlClass{q-stress}{\tau_a}}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{16 \times 500{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{\pi \times 40\ \mathrm{N/mm^2}}\right)^{1/3} = 39.93\ \mathrm{mm}$$

3. 5 mm きざみで切り上げると、足りるいちばん細い直径が出る

   $$\htmlClass{q-geometry}{d_s} \ge \htmlClass{q-geometry}{d} = 39.93\ \mathrm{mm}\ \to = 40\ \mathrm{mm}$$

4. 使う直径で、最大せん断応力を確かめる（許容以下なので足りる）

   $$\htmlClass{q-stress}{\tau_{\max}} = \dfrac{16\,\htmlClass{q-moment}{T_e}}{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^3} = \dfrac{16 \times 500{,}000}{\pi \times 40^3} = 39.8\ \mathrm{MPa}$$

もろい材料では、引っぱりで割れる

鋼のような、のびる材料は、面がずれて形が崩れます。だから、ずれ（せん断応力）の大きさ、つまり $\skjTe$ で太さを決めました。

鋳鉄やチョークのような、もろい材料は違います。ずれる前に、引っぱられた向きで、ぱきっと割れます。

チョークを両手でねじると、まっすぐ横には割れず、ななめのらせんに割れます。ねじると、軸に対して 45° の向きに、いちばん強く引っぱられるからです。

もろい材料の軸では、いちばん大きい引張の応力で太さを決めます。そのときに使うのが、相当曲げモーメントです。

$$\skjMe = \dfrac{\skjM + \sqrt{\skjM^2 + \sksT^2}}{2} = \dfrac{\skjM + \skjTe}{2}$$

この単元の軸では、$(300 + 500)/2 = 400\ \mathrm{N\cdot m}$ です。曲げの式 $\sigma = 32\,\skjMe/(\pi \skjD^3)$ に入れて、許容の引張応力と比べます。直径 40 mm なら、いちばん大きい引張の応力は 63.7 MPa です。

機械の軸のほとんどは鋼なので、ふつうは $\skjTe$ で決めます。

よくある勘違い

「曲げとねじりを足して、700 N·m で決めればよい」

足し算すると、太くしすぎます。700 N·m で計算すると、必要な直径は 44.67 mm で、45 mm を選ぶことになります。

曲げは軸の向きに引っぱり、ねじりは横にずらします。向きの違う応力なので、そのまま足せません。

「大きいほうのトルクだけで決めれば十分」

ねじりだけで決めると、必要な直径は 37.07 mm です。その太さの軸に、曲げも一緒にかかると、最大せん断応力は 50 MPa になります。許容の 40 MPa を 25% 越えます。小さいほうでも、無視はできません。

「相当ねじりモーメントの 500 N·m が、軸にかかっている」

軸を回しているトルクは、400 N·m のままです。500 N·m は、太さを決めるために置きかえた計算の上の量です。キーにかかる力を出すときは、本当のトルク 400 N·m を使います（キー（軸と歯車をつなぐ））。

ベルト車の軸に戻る

ベルト車の軸は、張力の差で 400 N·m のねじりを、張力の和で 300 N·m の曲げを受けていました。

2つを直角に組んで 500 N·m。許容せん断応力 40 MPa なら、必要な直径は 39.93 mm です。直径 40 mm の鋼の軸で足ります。そのときの応力は 39.8 MPa で、許容の内側です。

この公式が使える条件

• 中実の丸い軸（中空の軸は、$\skjTe$ を中空軸の式に入れる）
• のびる材料（鋼）で、ずれで形が崩れるのを防ぐ（最大せん断応力の考え方）。もろい材料は $\skjMe$ を使う
• 曲げとねじりの最大が、同じ断面にかかるとして、その断面で決める
• 引張・圧縮の軸力は考えない
• 繰り返し・衝撃・溝や段のかどの影響は、許容せん断応力の小ささで見込む

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

表面の1点の応力：直径 $\skjD$ の軸の表面では、曲げによる引張の応力と、ねじりによるせん断応力が、どちらも最大です（材料力学の 曲げ応力の式 と 丸軸のねじり）。

$$\sigma = \dfrac{\skjM}{\pi \skjD^3/32}, \qquad \tau = \dfrac{\sksT}{\pi \skjD^3/16}$$

ねじりの分母が、曲げの分母のちょうど2倍なのは、極断面係数が断面係数の2倍だからです（$J = 2I$）。

面を回す：軸の向きから角度 $\varphi$ だけ回した面の、せん断応力は

$$\tau_\varphi = -\dfrac{\sigma}{2}\sin 2\varphi + \tau\cos 2\varphi$$

です。$a\sin x + b\cos x$ の大きさの最大は $\sqrt{a^2 + b^2}$ なので、

$$\tau_{\max} = \sqrt{\left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} = \sqrt{\left(\dfrac{16\,\skjM}{\pi \skjD^3}\right)^2 + \left(\dfrac{16\,\sksT}{\pi \skjD^3}\right)^2} = \dfrac{16\sqrt{\skjM^2 + \sksT^2}}{\pi \skjD^3}$$

これを $\sksTauA$ と等しいと置いて $\skjD$ について解くと、最初の式になります。

いちばん大きい引張の応力：同じ面の回し方で、引張の応力の最大は $\sigma/2 + \sqrt{(\sigma/2)^2 + \tau^2}$ です。上と同じように入れると

$$\sigma_{\max} = \dfrac{16}{\pi \skjD^3}\left(\skjM + \sqrt{\skjM^2 + \sksT^2}\right) = \dfrac{32\,\skjMe}{\pi \skjD^3}$$

で、相当曲げモーメント $\skjMe$ が出ます。直径 40 mm・$\skjMe$ = 400 N·m なら 63.7 MPa です。