軸の中心は、ほとんど働いていない中空軸と伝達動力

自転車のクランクの軸は、中が空いている

自転車のペダルを踏むと、クランクが回ります。チェーンから後ろの車輪へ、力が伝わります。

チェーンをかける大きな歯車（チェーンリング）は、右のクランクについています。左のペダルを踏む力は、左右のクランクをつなぐクランクの軸を通って、右のチェーンリングへ運ばれます。

このとき、クランクの軸はねじられています。踏む力が、軸をねじるトルクになっているからです。

軽さを大事にする自転車には、クランクの軸に、中が空いた管を使うものがあります。

車のエンジンの力を後ろの車輪へ運ぶプロペラシャフトも、薄い鋼の管が多く使われます（ほかに、アルミやカーボンの管）。ゴルフクラブのシャフトも、中空の管です。

中をくり抜けば、材料は減ります。それなのに、なぜ弱くならないのでしょうか。

予想してから読む直径 20 mm の軸を、同じ重さのまま、内径が外径の 0.6 倍の管に作りかえます。同じトルクで、外縁の応力はどうなる？

A大きくなる（材料が減ったぶん弱い）B変わらない（重さが同じだから）C約 1.7 分の 1 に減る

答えは、丸軸のねじり で使った「薄い輪」の考え方で出せます。そのうえで、モーターやエンジンの出力と回転数から、軸の太さを決める流れをたどります。

中心の輪は、ほとんど働いていない

前の単元では、丸い軸の断面を、中心を囲む薄い輪に切りました。そこで分かったことは2つです。

1つ目。輪の応力は、中心からの距離 $r$ に比例します。

$$\tau = \dfrac{\shsT\,r}{\shsJ}$$

2つ目。輪が軸を回す効き目は、シーソーと同じ「力 × 距離」です。輪の力が距離に比例し、腕も距離なので、効き目は「輪の面積 × 距離²」に比例します。

中心に近い輪は、力も小さく、腕も短い。$\shsJ$ にも、トルクを受け持つ働きにも、ほとんど効いていません。

左は直径 20 mm の中実軸です。右は外径 25 mm・内径 15 mm の中空軸です。断面積が同じなので、同じ重さです。

中実軸の中心のあたりは、応力が小さく、ほとんど働いていません。その材料を外側へ移したものが、右の中空軸です。

同じトルクをかけても、外縁の応力は 0.59 倍で済みます。曲げで、断面の縁がいちばん大きな応力を受けたのと同じ理由です（断面係数（形の効率））。

中空軸の J は、大きな丸から小さな丸を引く

$\shsJ$ は、輪の「面積 × 距離²」を全部足したものでした。中空軸には、内径より内側の輪がありません。

だから、外径 $\sDout$ の丸の $\shsJ$ から、内径 $d$ の丸の $\shsJ$ を引けば出ます。図心（断面の中心） で、穴の面積を引いたのと同じ考え方です。

$$\shsJ = \dfrac{\pi\sDout^4}{32} - \dfrac{\pi d^4}{32} = \dfrac{\pi(\sDout^4 - d^4)}{32}$$

内径と外径の比を $\shsK = d/\sDout$ と書き、内径比と呼びます。$d = \shsK\,\sDout$ を入れて、$\sDout^4$ をくくり出します。

$$\shsJ = \dfrac{\pi\sDout^4}{32}(1 - \shsK^4)$$

極断面係数 $\shsZ$ は、$\shsJ$ を外縁までの距離 $\sDout/2$ で割ったものです。外縁の応力は $\shsT/\shsZ$ で、$\shsZ$ が大きいほど小さくなります。

$$\shsZ = \dfrac{\shsJ}{\sDout/2} = \dfrac{\pi(\sDout^4 - d^4)}{16\,\sDout} = \dfrac{\pi\sDout^3}{16}(1 - \shsK^4)$$

$\shsZ$ を、3 つのかたまりに分けて読みます。

1. $\pi/16$（丸い断面の係数）　中実の丸軸と同じ数です。
2. $\sDout^3$（外径の 3 乗）　外径を 2 倍にすると、$\shsZ$ は 8 倍です。
3. $1 - \shsK^4$（くり抜いた分）　穴で減る割合です。$\shsK$ が4乗で入ります。

穴の効きを、内径比 0.5 で確かめます。$\shsZ$ は、くり抜いた分のかたまりだけ減ります。

$$1 - \shsK^4 = 1 - 0.5^4 = 0.9375$$

$\shsZ$ は 6% ほどしか減りません。

いっぽう、断面積（材料の量）は $1 - \shsK^2$ の割合で減ります。

$$1 - \shsK^2 = 1 - 0.5^2 = 0.75$$

材料は 25% 減ります。

材料は 25% 減るのに、$\shsZ$ は 6% しか減らない。面積には距離が2乗で、$\shsJ$ には4乗で効くからです。中心に近い材料は、$\shsJ$ にほとんど効いていなかったのです。

中空軸のよさは、2 通りに言えます。次の 2 つの節で、それぞれ確かめます。

• 同じ重さなら、強い：内径比 0.6 なら、応力は 0.59 倍、ねじれ角は 0.47 倍
• 同じ強さなら、軽い：内径比 0.6 なら、外径が 5% 太いだけで、重さは 0.70 倍

同じ重さで比べる

直径 20 mm の中実軸と、断面積が同じ（同じ材料・同じ長さなら、同じ重さ）中空軸を比べます。断面積は 314.2 mm² です。

同じトルクをかけたときの、外縁の応力とねじれ角を、中実軸を 1 として並べます。小さいほど、強くて、ねじれにくい軸です。

表の読み方を、内径比 0.6 の行で確かめます。外縁の応力は $\shsT/\shsZ$ なので、応力の列は $\shsZ$ の比の逆数です。ねじれ角は $\shsT L/(G\shsJ)$ なので、ねじれ角の列は $\shsJ$ の比の逆数です。

内径比 0.6 の軸は、応力が 1.7 分の 1、ねじれ角が 2.1 分の 1 です。

ねじれ角に、効きが大きく出ます。$\shsZ$ は外径の 3 乗、$\shsJ$ は 4 乗で増えるからです。

同じトルクで比べる

もう一つの比べ方です。同じトルクを、同じ許容せん断応力で受け持たせます。中空軸の外径は、中実軸の何倍になり、重さは何倍になるでしょうか。

外縁の応力が同じになるのは、$\shsZ$ が同じときです。中実軸の直径を $\shsDs$ として、2つの $\shsZ$ を等しくおきます。

$$\dfrac{\pi\shsDs^3}{16} = \dfrac{\pi\sDout^3}{16}(1 - \shsK^4)$$

両辺を $\pi/16$ で割り、$(1 - \shsK^4)$ で割って、3 乗根をとります。

$$\sDout = \dfrac{\shsDs}{(1 - \shsK^4)^{1/3}}$$

重さの比は、断面積の比です。中空軸の断面積を $A_h$、中実軸を $A_s$ とすると、上の外径を入れて次のようになります。

$$\dfrac{A_h}{A_s} = \dfrac{\sDout^2(1 - \shsK^2)}{\shsDs^2} = \dfrac{1 - \shsK^2}{(1 - \shsK^4)^{2/3}}$$

内径比 0.6 の軸は、外径が 5% 太くなるだけで、重さは 0.70 倍です。内径比 0.8 なら、重さは半分です。

薄くしすぎると、つぶれる

内径比を 1 に近づけるほど、計算の上では、どんどん軽くなります。

けれども、壁が薄い管をねじると、壁がしわになってつぶれます（座屈）。計算の応力が許容応力の内側でも、起こります。

壁が薄いほど起こりやすいので、内径比には限度があります。

どの寸法がいちばん効く？

外径 60 mm・内径 36 mm（内径比 0.6）の中空軸を基準にします。寸法を 10% だけ変えたとき、$\shsZ$ と断面積（重さ）が何% 変わるかを並べます。

内径を広げると、重さは 12% 減るのに、強さは 7% しか減りません。内側を削っても、$\shsZ$ はあまり減りません。

外側を太くすると、よく効きます。相似形で大きくすると、$\shsZ$ は 3 乗で増えます（1.1³ ≒ 1.33）。外径を 10% 太くして肉厚を保つと、重さは 12.5% 増えるだけで、$\shsZ$ は 27.8% 増えます。

軸が伝える動力：P = T ω

軸を回しつづけるときの、毎秒の仕事を動力 $\shsP$ と呼びます。単位は W（ワット）です。

仕事は「力 × 動いた距離」です。軸に、腕の長さ $a$ のところで力 $F$ がかかっているとします。トルクは $\shsT = F\,a$ です。

軸が 1 回転すると、力のかかった点は、円周 $2\pi a$ だけ動きます。1 回転の仕事は、次のとおりです。

$$F \times 2\pi a = 2\pi\,\shsT$$

腕の長さが消えて、トルクだけが残りました。

1 分間に $\shsN$ 回転（rpm）するなら、1 秒間には $\shsN/60$ 回転です。毎秒の仕事は、1 回転の仕事にこれをかけます。

$$\shsP = 2\pi\,\shsT \times \dfrac{\shsN}{60} = \dfrac{2\pi\,\shsN\,\shsT}{60}$$

$2\pi\shsN/60$ は、1 秒間に回る角度 [rad] で、角速度 $\shsOmega$ と呼びます。だから $\shsP = \shsT\,\shsOmega$ とも書きます。

トルクについて解くと、次の形です。

$$\shsT = \dfrac{60\,\shsP}{2\pi\,\shsN}$$

単位は、$\shsP$ が W、$\shsT$ が N·m、$\shsN$ が rpm です。$\shsP$ を kW で入れるなら、$\shsT\,[\mathrm{N\cdot m}] = 9549 \times \shsP\,[\mathrm{kW}] / \shsN\,[\mathrm{rpm}]$ です（$60 \times 1000/2\pi = 9549$）。

自転車の変速を思い出してください。同じ速さで走るとき、軽いギアでは、ペダルを速く回すかわりに、踏む力は小さくて済みます。重いギアでは、ゆっくり回せるかわりに、強く踏まなければなりません。

出している動力は同じで、トルクと回転数の分け方が変わっているのです。車のカタログに「最高出力 ○ kW（○ rpm）」「最大トルク ○ N·m（○ rpm）」と、回転数がいっしょに書いてあるのも、このためです。

冒頭のクランクの軸で、トルクを出します。人が出す動力を 100 W、ペダルの回転を毎分 60 回転とします。

$$\shsT = \dfrac{60\,\shsP}{2\pi\,\shsN} = \dfrac{60 \times 100}{2\pi \times 60} = 15.9\ \mathrm{N\cdot m}$$

ただし、これは平均の値です。立ちこぎで、体重 600 N を、長さ 170 mm のクランクにまるごとかけると、次のようになります。

$$\shsT = \text{力} \times \text{腕の長さ} = 600 \times 0.17 = 102\ \mathrm{N\cdot m}$$

平均の 6 倍をこえます。軸の太さは、平均ではなく、ときどき来るいちばん大きいトルクで決めます。

設計の流れ：出力と回転数から、軸の太さを決める

モーターやエンジンには、出力と回転数が書いてあります。ここから、軸の太さまで、次の 4 ステップで決めます。

1. 出力 $\shsP$ と回転数 $\shsN$ を読む。モーターの銘板に書いてあります。
2. トルクを出す。 $\shsT = 60\shsP/(2\pi\shsN)$
3. 必要な $\shsZ$ を出す。外縁の応力 $\shsT/\shsZ$ が、許容せん断応力 $\shsTau$ 以下であればよいので、$\shsZ \ge \shsT/\shsTau$。
4. 直径を出す。中実軸なら $\shsDs = \bigl(16\shsT/(\pi\shsTau)\bigr)^{1/3}$。中空軸なら、内径比 $\shsK$ を決めて、$\sDout = \shsDs/(1 - \shsK^4)^{1/3}$。

出力 7.5 kW・毎分 1,450 回転のモーターで、たどってみます。許容せん断応力は 30 MPa（目安）とします。

$$\shsT = \dfrac{60\,\shsP}{2\pi\,\shsN} = \dfrac{60 \times 7{,}500}{2\pi \times 1{,}450} = 49.39\ \mathrm{N\cdot m}$$ $$\shsZ \ge \dfrac{\shsT}{\shsTau} = \dfrac{49{,}390\ \mathrm{N\cdot mm}}{30\ \mathrm{MPa}} = 1{,}646\ \mathrm{mm^3}$$

この $\shsZ$ を持つ中実軸の直径は 20.32 mm です。

内径比 0.6 の中空軸なら、外径 21.28 mm・内径 12.77 mm です。重さは中実軸の 0.70 倍です。実際には、ここで出した値を、使える寸法のうち一つ大きいものに丸めます。

ところで、市販の 7.5 kW・4 極のモーター（IEC の枠番 132）の軸は、直径 38 mm ほどあります。ねじりだけで出した 20 mm の、倍に近い太さです。

ベルトやギアから受ける曲げ、キー溝による弱まり、ねじれ角やたわみの制限、軸受けの寸法、何度もくり返す荷重による疲れ。こうした条件を足すと、軸はここまで太くなります。この単元の値は、ねじりだけから決まる最低限の太さです。

$\shsTau$（許容せん断応力）は、材料の強さを、安全率で割って決めます。この単元で使う 30〜40 MPa は、計算を追うための目安の値です。規格の数値ではありません。実際の設計では、材料、荷重の変動、キー溝の有無、安全率から、設計の基準に従って決めます。

同じ動力なら、回転が速いほど、軸は細くて済む

同じ動力 1 kW を伝える軸を、許容せん断応力 30 MPa（目安）で設計します。回転数で、こう変わります。

回転が 10 倍になるたびに、トルクは 10 分の 1 です。直径はトルクの 3 乗根に比例するので、$10^{-1/3} = 0.464$ 倍です。断面積（重さ）は直径の 2 乗で、0.215 倍です。

電動ドリルのモーターの軸が細くて、先のチャックの軸が太いのは、このためです。モーターは、速く回って、トルクが小さい。ギアで回転を落とすと、同じ動力のまま、トルクが大きくなります。

風車は、反対です。大きな羽根は、毎分十数回転でゆっくり回ります。トルクがとても大きく、軸は太くて、中空にすることもあります。

ギアで回転を上げて（増速機）、細い軸で発電機へつなぎます。発電機が毎分 1,500 回転、羽根の軸が毎分 15 回転なら、同じ動力で、羽根の軸のトルクは、発電機の軸の 100 倍です。

冒頭のクランクに戻る

冒頭の問いは、「中をくり抜くと材料が減るのに、なぜ弱くならないのか」でした。

くり抜いた中心の輪は、応力も腕も小さく、トルクをほとんど受け持っていませんでした。だから、くり抜いても強さはあまり減りません。

その材料を外側へ回せば、同じ重さで、応力は 1.7 分の 1、ねじれ角は 2.1 分の 1 になります（内径比 0.6）。クランクの軸やプロペラシャフトが管なのは、このためです。

動かしてみよう

出力 $\shsP$、回転数 $\shsN$、内径比 $\shsK$、許容せん断応力 $\shsTau$ を動かしてみてください。

回転数を上げると、右下の曲線に沿って、必要な直径が下がっていきます。内径比を 0 から 0.9 に上げると、外径は太くなって、重さの棒は短くなります。許容せん断応力は、設計の目安として決めた値です。規格の値ではありません。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1内径比 k を 0.5 にして（半径の半分をくり抜く）、外径と重さの比を見る（まだ）
2. 2内径比 k を 0.8 にする（まだ）
3. 3k を 0.6 に戻し、出力 P を 1 kW、回転数 n を 150 rpm にして、1,500 rpm のとき（本文の表の 10.26 mm）と比べる（まだ）

P伝達動力−kW＋

n回転数−rpm＋

k内径比（内径 ÷ 外径）−＋

τ許容せん断応力（目安）−MPa＋

いまの図を残して比べる中空軸の必要な外径は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\dfrac{A_h}{A_s} = \dfrac{D^2 - d^2}{d_0^2} = \dfrac{1 - \htmlClass{q-geometry}{k}^2}{(1 - \htmlClass{q-geometry}{k}^4)^{2/3}}$$$$= \dfrac{0.64}{0.9116} = \dfrac{227.6\ \mathrm{mm^2}}{324.2\ \mathrm{mm^2}}$$$$= 0.702$$

ねじりモーメント（トルク）

$\htmlClass{q-moment}{T} = 49.39\ \mathrm{N\cdot m}$

中実軸の必要な直径

$\htmlClass{q-geometry}{d_0} = 20.32\ \mathrm{mm}$

中空軸の必要な外径

$\htmlClass{q-geometry}{D} = 21.28\ \mathrm{mm}$

中空軸の内径

$\htmlClass{q-geometry}{d} = 12.77\ \mathrm{mm}$

重さの比（中空 ÷ 中実）

$\htmlClass{q-geometry}{A_h/A_s} = 0.702\$

穴の部分が受け持っていた J の割合

$\htmlClass{q-geometry}{k^4} = 0.13\$

途中の計算（導出）を見る

1. 回転数を、角速度（1 秒間に回る角度 [rad]）にする

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega} = \dfrac{2\pi\,\htmlClass{q-flow}{n}}{60} = \dfrac{2\pi \times 1{,}450}{60} = 151.8\ \mathrm{rad/s}$$

2. 動力から、軸が受けるトルクを出す（P = Tω を T について解く）

   $$\htmlClass{q-moment}{T} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{P}}{\htmlClass{q-flow}{\omega}} = \dfrac{7{,}500\ \mathrm{W}}{151.8\ \mathrm{rad/s}} = 49.39\ \mathrm{N\cdot m}$$

3. 許容せん断応力から、必要な極断面係数を出す（τ = T/Zp が τa 以下であればよい）

   $$\htmlClass{q-material}{Z_p} \ge \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T}}{\htmlClass{q-stress}{\tau_a}} = \dfrac{49{,}390\ \mathrm{N\cdot mm}}{30\ \mathrm{N/mm^2}} = 1{,}646\ \mathrm{mm^3}$$

4. 中実軸の必要な直径（Zp = π d₀³/16 を、必要な Zp に等しいとおく）

   $$\htmlClass{q-geometry}{d_0} = \left(\dfrac{16\,\htmlClass{q-moment}{T}}{\pi\,\htmlClass{q-stress}{\tau_a}}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{16 \times 49{,}390}{\pi \times 30}\right)^{1/3} = 20.32\ \mathrm{mm}$$

5. 中空軸の必要な外径（Zp = π D³ (1 − k⁴)/16 を、必要な Zp に等しいとおく）

   $$\htmlClass{q-geometry}{D} = \left(\dfrac{16\,\htmlClass{q-moment}{T}}{\pi\,\htmlClass{q-stress}{\tau_a}\,(1 - \htmlClass{q-geometry}{k}^4)}\right)^{1/3} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{d_0}}{(1 - \htmlClass{q-geometry}{k}^4)^{1/3}} = \dfrac{20.32}{(1 - 0.6^4)^{1/3}} = \dfrac{20.32}{0.9548} = 21.28\ \mathrm{mm}$$

6. 中空軸の内径（外径 × 内径比）

   $$\htmlClass{q-geometry}{d} = \htmlClass{q-geometry}{k}\,\htmlClass{q-geometry}{D} = 0.6 \times 21.28 = 12.77\ \mathrm{mm}$$

7. 重さの比（同じ材料・同じ長さなら断面積の比。中空 ÷ 中実）

   $$\dfrac{A_h}{A_s} = \dfrac{D^2 - d^2}{d_0^2} = \dfrac{1 - \htmlClass{q-geometry}{k}^2}{(1 - \htmlClass{q-geometry}{k}^4)^{2/3}} = \dfrac{0.64}{0.9116} = \dfrac{227.6\ \mathrm{mm^2}}{324.2\ \mathrm{mm^2}} = 0.702$$

よくある勘違い

「出力が大きいほど、軸のトルクも大きい」

トルクは、出力と回転数で決まります。同じ出力でも、回転が遅ければ、トルクは大きくなります。

「中空にすると、弱くなる」

くり抜いた分の材料は減りますが、減る強さはずっと小さくなります。内径比 0.5 で、材料は 25% 減り、$\shsZ$ は 6% しか減りません。同じ重さで比べるなら、中空軸が強くなります。

「高速の軸は、いつも細くしてよい」

ねじりの強さだけを見れば、細くて済みます。けれども、速く回る軸は、曲げ、振動、軸受けの寸法など、別の条件からも太さが決まります。この単元で出した値は、ねじりだけから決まる最低限の太さです。

この単元で使う前提

• 丸い断面の軸（中実または中空）。断面の形が丸でなければ、$\shsJ$・$\shsZ$ の式は使えない
• トルクだけがかかる軸（曲げ、軸方向の力は考えない）。実際の軸は、曲げも同時に受けることが多い
• 材料は、応力とひずみが比例する範囲。応力は、許容せん断応力 $\shsTau$ 以下
• 動力の伝達に損失がないものとして、軸のトルクを出している
• 長さの単位をそろえる（mm で入れると、$\shsZ$ は mm³、応力は N/mm² ＝ MPa）

式の導き方（積分で書く）

J と Zp：半径 $r$、幅 $dr$ の薄い輪の面積は $2\pi r\,dr$ です。$\shsJ$ は、輪の面積に $r^2$ をかけて、内径から外径まで足したものです。

$$\shsJ = \int_{d/2}^{\sDout/2} r^2 \cdot 2\pi r\,dr = \dfrac{\pi}{2}\left[\left(\dfrac{\sDout}{2}\right)^4 - \left(\dfrac{d}{2}\right)^4\right] = \dfrac{\pi(\sDout^4 - d^4)}{32}$$

本文の「大きな丸の J − 小さな丸の J」と同じ答えです。外縁（$r = \sDout/2$）の応力は $\tau_{\max} = \shsT(\sDout/2)/\shsJ = \shsT/\shsZ$ なので、$\shsZ = \shsJ/(\sDout/2) = \pi(\sDout^4 - d^4)/(16\sDout)$。

動力：トルク $\shsT$ で、軸が角度 $\theta$ だけ回るときの仕事は $\shsT\theta$。単位時間あたりにすると、$\shsP = \shsT\,d\theta/dt = \shsT\shsOmega$。1 分間に $\shsN$ 回転なら、$\shsOmega = 2\pi\shsN/60$。

必要な直径：$\shsZ \ge \shsT/\shsTau$ に、$\shsZ = \pi\sDout^3(1 - \shsK^4)/16$ を代入して、$\sDout$ について解きます。

$$\sDout = \left(\dfrac{16\,\shsT}{\pi\,\shsTau\,(1 - \shsK^4)}\right)^{1/3}$$

$\shsK = 0$（中実）のときが $\shsDs = (16\shsT/(\pi\shsTau))^{1/3}$ です。

同じ重さのときの比：断面積 $\pi\sDout^2(1 - \shsK^2)/4$ を、中実軸の $\pi\shsDs^2/4$ に等しくおくと、$\sDout^2 = \shsDs^2/(1 - \shsK^2)$。これを代入すると、

$$\dfrac{\shsZ_h}{\shsZ_s} = \dfrac{1 + \shsK^2}{\sqrt{1 - \shsK^2}},\qquad \dfrac{\shsJ_h}{\shsJ_s} = \dfrac{1 + \shsK^2}{1 - \shsK^2}$$

（添え字 h は中空軸、s は中実軸）。