軸と歯車は、小さな角棒1本でつながっているキー（軸と歯車をつなぐ）

歯車は、なぜ軸の上で空回りしない？

モータの軸に、歯車やベルト車（プーリ）を取り付けます。歯車の中心には、軸がちょうど通る丸い穴が開いています。

でも、丸い軸を丸い穴に通しただけでは、軸が回っても、歯車はつるりと滑って止まったままです。軸の回す力（トルク）を歯車に伝えるには、2つを回る向きにつなぐ部品が要ります。

よく使われるのがキーです。軸の表面と、歯車の穴の内側（ボス）に、それぞれ溝を彫ります。2つの溝を合わせた四角い穴に、細長い角棒を差し込みます。この角棒がキーです。両側の面が平行なものを、平行キーといいます。

キーは小さな部品です。でも、軸が伝えるトルクを、全部この1本で受けています。

例で考えます。直径 30 mm の軸で、100 N·m のトルクを歯車に伝えます。キーは幅 8 mm・高さ 7 mm・長さ 40 mm です。キーが、軸と歯車の境目でずれて切れようとする応力（せん断応力）は、いくらでしょうか。

予想してから読む直径 30 mm の軸で 100 N·m を伝える。幅 8 mm・長さ 40 mm のキーのせん断応力は？

A約 10.4 MPaB約 20.8 MPaC約 47.6 MPa

キーを押す力

キーを押す力は、トルク ÷ 軸の半径です。トルクは「力 × 腕の長さ」だからです。軸の中心からキーまでの腕は、軸の半径 $\skyD / 2$ です。だから、キーの側面を押す力 $\skyF$ は、

$$\skyF = \dfrac{\sksT}{\skyD / 2} = \dfrac{2\,\sksT}{\skyD}$$

例の軸では、100 N·m ＝ 100,000 N·mm を、半径 15 mm で割ります。

$$\skyF = \dfrac{100000\ \mathrm{N\cdot mm}}{15\ \mathrm{mm}} = 6667\ \mathrm{N}$$

6,667 N は、約 680 kg の物の重さに当たります。手で回せるくらいのトルクでも、小さなキーには大きな力がかかります。

軸の太さで、キーの寸法を選ぶ

キーの幅と高さは、自由に決めません。JIS B 1301（キー及びキー溝）の表から選びます。表には、キーの呼び寸法（幅 × 高さ）ごとに、軸とボスに彫る溝の深さと、参考として「適応する軸径」が並んでいます。一部を抜き出すと、次のとおりです。

直径 30 mm の軸には、8×7 のキーを選びます。このサイトの盤では、境目の軸径（30 mm など）は、小さいほうの行に入れています。

適応する軸径は、キーの強さに見合うトルクから決めた、一般の目安です。最後は、伝えるトルクで、キーが足りるかを確かめます。

2つの壊れ方を確かめる

キーの壊れ方は2つあります。

せん断：境目の面で、ずれて切れる

軸は、キーの下の部分を押します。歯車は、キーの上の部分を押し返します。上と下が反対の向きに押されるので、キーは、軸と歯車の境目の面で、ずれて切れようとします。はさみの2枚の刃が、紙を反対の向きに押して切るのと同じです。

面に沿ってずらそうとする応力をせん断応力 $\skyTau$ といいます。材料力学の 応力とひずみ の応力と同じく、力 ÷ 面積です。面積は、境目の面の $\skyB \times \skyL$ です。

$$\skyTau = \dfrac{\skyF}{\skyB\,\skyL} = \dfrac{6667}{8 \times 40} = 20.8\ \mathrm{MPa}$$

面圧：側面が、つぶれる

キーの側面は、溝の壁に押しつけられています。押しつける力が大きすぎると、側面や溝の壁がつぶれます。側面 1 mm² あたりの押しつける力を面圧 $\skyP$ といいます。

キーの高さ $\skyH$ のうち、下の部分は軸の溝に、上の部分はボスの溝に入っています。ボスの側で押される面の高さは、キーの高さの半分として計算します。8×7 のキーでは、軸の溝の深さが 4.0 mm なので、ボスの側に出ている高さは 3.0 mm で、半分の 3.5 mm に近い値です。

$$\skyP = \dfrac{\skyF}{\skyL \times \skyH / 2} = \dfrac{6667}{40 \times 3.5} = 47.6\ \mathrm{MPa}$$

ものさしで比べる

この科目では、計算で出た応力をものさしの目盛りに、許容応力を余白をとった線にたとえています。キーでは、ものさしを2本当てます。

この例では、許容せん断応力を 40 MPa、許容面圧を 100 MPa とします（キーとボスの材料と、安全率から決める値で、ここでは例として決めました）。

どちらも線の内側なので、8×7・長さ 40 mm のキーで足ります。

両方が許容ちょうどになる長さも出せます。せん断からは $6667 / (8 \times 40) = 20.8\ \mathrm{mm}$、面圧からは $2 \times 6667 / (7 \times 100) = 19.0\ \mathrm{mm}$。長いほうの 20.8 mm あれば足ります。40 mm のキーには、約2倍の余白があります。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\skyTau = \underbrace{\dfrac{2\,\sksT}{\skyD}}_{\text{キーを押す力}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\skyB\,\skyL}}_{\text{受ける面の広さ}}$$

1. キーを押す力 $2\sksT/\skyD$　トルクが同じでも、軸が細いほど腕が短く、力は大きくなります。
2. 受ける面の広さ $\skyB\,\skyL$　幅 $\skyB$ は軸の太さで表から決まるので、自分で変えられるのは長さ $\skyL$ です。

面圧の式も、形は同じです。面の広さが $\skyL \times \skyH/2$ に変わるだけです。

どの数字がいちばん効く？

例のキーから、それぞれの数字を 10% 変えたとき、せん断応力がどう変わるかを並べます。

軸を太くすると、力が減るうえに、表で選ぶキーも大きくなります。2つが重なるので、よく効きます。

軸が細いほど、キーはつらい

同じ 100 N·m を、直径 20 mm の軸で伝えてみます。表から、キーは 6×6 です。

$$\skyF = \dfrac{100000}{10} = 10000\ \mathrm{N}, \qquad \skyTau = \dfrac{10000}{6 \times 40} = 41.7\ \mathrm{MPa}$$

許容の 40 MPa を越えます。腕が短くなって力が 1.5倍になり、キーの幅も 8 mm から 6 mm に細くなったからです。

歯車に戻る

直径 30 mm の軸から、100 N·m を歯車に伝えるとき、キーの側面は 6,667 N で押されます。規格の 8×7 のキーを長さ 40 mm で使うと、せん断応力は 20.8 MPa、面圧は 47.6 MPa です。どちらも許容以下なので、このキーで足ります。

動かしてみよう

軸の直径 $\skyD$ を細くしていくと、22 mm を境に、キーが 8×7 から 6×6 に変わります。左の断面の図で、キーが小さくなるのを見てください。右のものさしの赤い線が、緑の許容の線に近づきます。

次に、許容面圧を下げてみてください。せん断が足りていても、面圧で足りなくなることがあります。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、変える前の値と比べられます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1トルクはそのままで、軸の直径 d を 20 mm に細くする（まだ）
2. 2軸径 30 mm のまま、許容面圧 pa を 45 MPa に下げる（ボスが柔らかい材料のとき）（まだ）
3. 3軸の直径 d を 38 mm に太くする（まだ）

Tトルク−N·m＋

d軸の直径−mm＋

lキーの長さ−mm＋

τa許容せん断応力−MPa＋

pa許容面圧−MPa＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べるキーのせん断応力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\tau} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{l}}$$$$= \dfrac{6{,}667}{8 \times 40}$$$$= 20.8\ \mathrm{MPa}$$

キーの側面を押す力

$\htmlClass{q-force}{F} = 6{,}667\ \mathrm{N}$

キーのせん断応力

$\htmlClass{q-stress}{\tau} = 20.83\ \mathrm{MPa}$

キーの側面の面圧

$\htmlClass{q-stress}{p} = 47.62\ \mathrm{MPa}$

両方が足りる最短の長さ

$\htmlClass{q-geometry}{l_r} = 20.83\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. 軸の表面で、キーを押す力を求める（トルク ÷ 軸の半径）

   $$\htmlClass{q-force}{F} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T}}{\htmlClass{q-geometry}{d}/2} = \dfrac{100{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{15\ \mathrm{mm}} = 6{,}667\ \mathrm{N}$$

2. 軸の直径から、規格の表でキーの寸法（幅 × 高さ）を選ぶ

   $$22 < \htmlClass{q-geometry}{d} \le 30\ \mathrm{mm} = \htmlClass{q-geometry}{d} = 30\ \mathrm{mm}\ \to = \htmlClass{q-geometry}{b} \times \htmlClass{q-geometry}{h} = 8 \times 7\ \mathrm{mm}$$

3. せん断を確かめる（境目の面で、ずれて切れないか）

   $$\htmlClass{q-stress}{\tau} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{l}} = \dfrac{6{,}667}{8 \times 40} = 20.8\ \mathrm{MPa}$$

4. 面圧を確かめる（側面が、高さの半分でつぶれないか）

   $$\htmlClass{q-stress}{p} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{l}\,\htmlClass{q-geometry}{h}/2} = \dfrac{6{,}667}{40 \times 3.5} = 47.6\ \mathrm{MPa}$$

5. 両方が許容以下になる、いちばん短い長さを出す

   $$\htmlClass{q-geometry}{l_r} = \max\!\left(\dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-stress}{\tau_a}},\ \dfrac{2\,\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{h}\,\htmlClass{q-stress}{p_a}}\right) = \max\!\left(20.8,\ 19\right) = 20.8\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「太い軸ほど、キーは大きな力を受ける」

逆です。同じトルクなら、太い軸ほど腕が長く、キーを押す力は小さくなります。

「せん断さえ確かめればよい」

面圧で決まることもあります。例のキーで、許容面圧が 45 MPa のボスなら、せん断は 20.8 MPa で足りていても、面圧 47.6 MPa が許容を越えます。必要な長さは 42.3 mm になります。

「面圧は、キーの幅で受ける」

面圧 ＝ 力 ÷（幅 × 長さ）。幅 $\skyB$ の面は、せん断の面です。面圧を受けるのは、溝の壁に当たる側面で、その高さはキーの高さの半分ほどです。

この公式が使える条件

• 力は、キーの長さの全体に均一にかかるとする（実際には、長さの方向に均一にはならない）
• 力は、軸の表面（半径 $\skyD/2$）でキーにかかるとする
• 面圧は、キーの高さの半分の面で受けるとする
• 平行キーで、溝とキーはすき間なく合っている
• トルクは一定（衝撃や、向きが変わる繰り返しは、許容応力の側で余白を大きくとる）

キーを押す力の出し方（くわしく知りたい人へ）

仕事で考える：軸を、わずかな角度 $d\theta$ だけ回します。トルク $\sksT$ がする仕事は $\sksT\,d\theta$ です。このとき、軸の表面にあるキーの側面は、$(\skyD/2)\,d\theta$ だけ動きます。キーを押す力 $\skyF$ がする仕事は $\skyF \times (\skyD/2)\,d\theta$ です。2つが等しいので、

$$\sksT\,d\theta = \skyF\,\dfrac{\skyD}{2}\,d\theta \qquad\Longrightarrow\qquad \skyF = \dfrac{2\,\sksT}{\skyD}$$

キーの上半分のつり合い：キーを、軸と歯車の境目の面で上下に切り分けます。上の半分は、ボスの溝の壁から $\skyF$ で押され、境目の面からせん断の力で引き止められます。止まっているので、

$$\skyP \times \skyL\,\dfrac{\skyH}{2} = \skyF = \skyTau \times \skyB\,\skyL$$

例のキーでは、$47.6 \times 40 \times 3.5 \approx 20.8 \times 8 \times 40 \approx 6667\ \mathrm{N}$ です。このサイトの検算では、軸を少し回して動いた道のりを座標で測る方法と、面を細い帯に分けて足し合わせる方法で、この2つを確かめています。