安全率3は「壊れる力の3分の1」ではない許容応力と安全率

フックの首は、何 mm あれば足りる？

工場の天井には、重い物をつり上げるクレーンが走っています。荷をつるのは、先の曲がった金具、フックです。

フックの上の部分は、まっすぐな丸棒です。これを首と呼ぶことにします。首は、上の金具に留められていて、荷の重さで、まっすぐ下へ引っぱられます。

首が細すぎると、伸びて元に戻らなくなります。そのまま使い続ければ、やがてちぎれて、荷が落ちます。太すぎると、フックが重くなり、クレーンも大きくしなければなりません。

この単元では、約 2 トンの荷（20 kN）をつるフックの首を考えます。材料は、一般構造用の鋼 SS400 です。規格（JIS G 3101）では、引張強さは 400〜510 MPa、降伏点は、直径が 16 mm を超え 40 mm 以下の棒なら 235 MPa 以上です。この単元では、下限の 235 MPa と 400 MPa を使います（材料力学の フックの法則と縦弾性係数 の単元と同じ値）。

首の直径は、何 mm あれば足りるでしょうか。

予想してから読む降伏点 235 MPa の鋼で、20 kN をつるフックの首を、安全率 3 で作ります。必要な直径はおよそ？

A約 10 mmB約 18 mmC約 31 mm

公式はこれ

$$\sksSigmaA = \dfrac{\sarSigY}{\sksS}$$

材料力学の 応力とひずみ の単元で、許容応力に少しだけふれました。この単元では、安全率をいくつにとるか、何を基準にするかを決めます。

ものさしの目盛りと余白

計算で出した応力は、ものさしの目盛りのようなものです。0 から右へ、応力が大きくなるほど右に来ます。

同じものさしに、材料の強さの線を引きます。降伏点 235 MPa の線です。応力の目盛りがこの線を越えると、首は伸びたまま戻らなくなります。

設計では、この線のぎりぎりまでは使いません。手前に、もう1本の線を引きます。これが許容応力の線です。許容応力の線から、降伏点の線までの間が余白です。

安全率 3 は、降伏点を 3 で割った所に、許容応力の線を引くことです。235 ÷ 3 ＝ 78.3 MPa。0 から 78.3 MPa までが、使ってよい範囲です。

この先の単元でも、このものさしを使います。疲労・応力集中・ボルト・キーと、壊れ方は変わっても、「目盛りが許容応力の線の内側にあるか」で、足りるかどうかを決めます。

安全率は、余白の大きさ

なぜ余白をとるのでしょうか。計算に入っていないことが、たくさんあるからです。

• 材料の強さには、ばらつきがある（規格の値は「これ以上」という下限）
• 荷が、計算より重いことがある（荷の重さの見積もり違い・つり方の偏り）
• 荷を急に持ち上げると、止まっているときより大きな力がかかる
• 使ううちに、すり減ったり、さびたりする

これらを1つずつ計算する代わりに、強さを安全率で割って、まとめて余白をとります。

安全率 3 は、応力で言えば「降伏点の 3分の1 まで」です。荷重で言っても同じです。応力は荷重に比例するので、許してよい荷重は、降伏し始める荷重の 3分の1 になります。

直径 20 mm の首なら、断面積は 314.2 mm²。降伏し始める荷重は 235 × 314.2 ＝ 73.8 kN で、許してよい荷重はその 3分の1 の 24.6 kN です。

首の太さを決める

必要な太さは、3段で決めます。求める、選ぶ、確かめる、です。

1. 求める　首の応力は、荷重 ÷ 断面積です。これが許容応力になる断面積を求めます。

$$\sarD = \sqrt{\dfrac{4\,\sarW}{\pi\,\sksSigmaA}} = \sqrt{\dfrac{4 \times 20000\ \mathrm{N}}{\pi \times 78.33\ \mathrm{N/mm^2}}} = 18.03\ \mathrm{mm}$$

2. 選ぶ　18.03 mm ちょうどの棒は作りにくいので、5 mm きざみで切り上げて、20 mm を選びます。

3. 確かめる　選んだ 20 mm で、応力をもう一度出します。

$$\sarSigma = \dfrac{4\,\sarW}{\pi\,\sarDs^2} = \dfrac{4 \times 20000}{\pi \times 20^2} = 63.7\ \mathrm{MPa} \;\le\; 78.3\ \mathrm{MPa}$$

許容応力の内側に入りました。足ります。切り上げた分だけ余白は広がって、降伏点で見た安全率は 235 ÷ 63.7 ＝ 3.69 です。

基準の強さを、何にとるか

安全率の分子（基準の強さ）は、降伏点とは限りません。ちぎれる手前の最大の応力、引張強さを基準にすることもあります。

同じ 20 mm の首で、引張強さ 400 MPa を基準にすると、安全率は 400 ÷ 63.7 ＝ 6.28 です。首も荷も同じなのに、数字は 3.69 と 6.28 に分かれます。

だから、安全率は「何を基準にして」と組で言います。「安全率 5」と聞いたら、引張強さの 5分の1 なのか、降伏点の 5分の1 なのかを確かめます。この鋼なら、引張強さの 5分の1（80 MPa）と、降伏点の 3分の1（78.3 MPa）は、ほとんど同じ厳しさです。

法令にも、この考え方が出てきます。荷をクレーンのフックに掛けるための道具を、玉掛け用具と言います。そのうちのフックとシャックル（U字の金具）は、安全係数 5 以上と決められています（クレーン等安全規則 第214条。ワイヤロープは第213条で 6 以上）。この安全係数は、用具が切れる荷重を、かかる荷重の最大で割った値です。基準は、降伏ではなく、切れることです。

クレーンの本体の構造（はりや柱）では、許容引張応力を「降伏点 ÷ 1.5」と「引張強さ ÷ 1.8」の小さいほうにとります（クレーン構造規格 第3条）。SS400 なら 235 ÷ 1.5 ＝ 157 MPa と 400 ÷ 1.8 ＝ 222 MPa で、157 MPa です。2つの基準を両方見て、厳しいほうを使う決め方です。

荷重の種類で、安全率を変える

同じ重さでも、かかり方で、材料のつらさは変わります。

ハンモックに、砂袋を、そっと置くときと、上から落とすときを比べます。重さは同じでも、落とすと、つり具に一瞬、大きな力がかかります。これが衝撃です。

公園のブランコは、こぐたびに、鎖とつり金具に力がかかったり、抜けたりします。1回ごとの力は小さくても、何万回と繰り返します。

古くから使われてきた目安が、次の表です。鋼の安全率を、引張強さを基準にして、荷重の種類ごとに並べたものです（アンウィンの安全率）。

これは、あくまで目安です。実際の機械では、法令や規格、会社の決まりで値が決まっていることが多く、それに従います。繰り返す荷重で何が起きるかは、次の 疲労と疲労限度 の単元で見ます。

20 kN のフックを、引張強さ基準の安全率 12（衝撃）で作ると、許容応力は 400 ÷ 12 ＝ 33.3 MPa、首の直径は 27.6 mm 必要で、30 mm を選びます。静かな荷重の 20 mm より、ひと回り太くなります。

式を、3つのかたまりに分けて読む

首の必要な直径の式を、3つに分けます。

$$\sarD = \underbrace{\sqrt{\dfrac{4}{\pi}}}_{\text{丸の形}} \times \underbrace{\sqrt{\sarW}}_{\text{荷の重さ}} \times \underbrace{\sqrt{\dfrac{\sksS}{\sarSigY}}}_{\text{余白と材料}}$$

1. 丸の形　断面積は直径の2乗に比例します。だから、どのかたまりも √ を通して直径に効きます。
2. 荷の重さ　荷を2倍にすると、断面積も2倍要ります。直径は √2 倍（1.41倍）です。
3. 余白と材料　安全率を3倍にすると、直径は √3 倍。降伏点の高い鋼に替えると、細くできます。

どの数字がいちばん効く？

既定のフック（20 kN・降伏点 235 MPa・安全率 3）から、1つずつ 10% 変えたときの、必要な直径の変化です。

どれも同じくらい、√ で効きます。どれを10%変えても、直径の変化は 5% 足らずです。

この3つのどれを変えても、必要な直径は 17.2〜18.9 mm の間にとどまり、選ぶ直径は 20 mm のまま変わりません。5 mm きざみの切り上げが、ここでも余白になっています。

動かしてみよう

荷重 $\sarW$・降伏点 $\sarSigY$・引張強さ $\sarSigB$・安全率 $\sksS$ を変えると、首の直径が決まり、右の「余白のものさし」が動きます。

安全率を 1 まで下げると、許容応力の緑の線が、降伏点の線に重なります。余白が消えた状態です。

首の直径は、自分で決めます。細くしていくと、赤い線が緑の線を越えて「足りない」と出ます。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、前の図と比べられます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1直径 20 mm のまま、荷重 W を2倍の 40 kN にする（まだ）
2. 2W = 40 kN のまま、使う直径 d を 30 mm に太くする（まだ）
3. 3W = 20 kN・直径 20 mm で、安全率 S を 5 にする（繰り返し・衝撃を見込む）（まだ）

Wフックにつるす荷重−kN＋

σy降伏点−MPa＋

σB引張強さ−MPa＋

S安全率−＋

d使う首の直径−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる使う直径での応力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = \dfrac{4\,\htmlClass{q-force}{W}}{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^2}$$$$= \dfrac{4 \times 20{,}000}{\pi \times 20^2}$$$$= 63.7\ \mathrm{MPa}$$

使う直径での応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = 63.7\ \mathrm{MPa}$

許容応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_a} = 78.33\ \mathrm{MPa}$

首の必要な直径

$\htmlClass{q-geometry}{d_{\mathrm{req}}} = 18.03\ \mathrm{mm}$

足りるいちばん細い直径（5 mm きざみ）

$\htmlClass{q-geometry}{d_{\min}} = 20\ \mathrm{mm}$

降伏点で見た安全率

$\htmlClass{q-material}{S_y} = 3.69\$

引張強さで見た安全率

$\htmlClass{q-material}{S_B} = 6.28\$

途中の計算（導出）を見る

1. 基準の強さ（降伏点）を安全率で割って、許容応力を決める

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_a} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\sigma_y}}{\htmlClass{q-material}{S}} = \dfrac{235\ \mathrm{MPa}}{3} = 78.33\ \mathrm{MPa}$$

2. 応力が許容応力になる直径を出す（断面積 × 許容応力 ＝ 荷重）

   $$\htmlClass{q-geometry}{d} = \sqrt{\dfrac{4\,\htmlClass{q-force}{W}}{\pi\,\htmlClass{q-stress}{\sigma_a}}} = \sqrt{\dfrac{4 \times 20{,}000\ \mathrm{N}}{\pi \times 78.33\ \mathrm{N/mm^2}}} = 18.03\ \mathrm{mm}$$

3. 5 mm きざみで切り上げると、足りるいちばん細い直径が出る

   $$\htmlClass{q-geometry}{d_s} \ge \htmlClass{q-geometry}{d} = 18.03\ \mathrm{mm}\ \to = 20\ \mathrm{mm}$$

4. 使う直径で応力を確かめる（許容応力以下なので足りる）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = \dfrac{4\,\htmlClass{q-force}{W}}{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^2} = \dfrac{4 \times 20{,}000}{\pi \times 20^2} = 63.7\ \mathrm{MPa}$$

5. 同じ応力で、基準の強さを変えて安全率を見る（降伏点と引張強さ）

   $$\htmlClass{q-material}{S_y} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\sigma_y}}{\htmlClass{q-stress}{\sigma}},\quad \htmlClass{q-material}{S_B} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\sigma_B}}{\htmlClass{q-stress}{\sigma}} = \dfrac{235}{63.7},\quad \dfrac{400}{63.7} = 3.69,\quad 6.28$$

よくある勘違い

「安全率 3 なら、3倍の荷をつっても平気」

降伏点で見た安全率 3 なら、3倍の荷で、首は降伏し始めます。伸びが戻らなくなり、もう部品としては使えません。

それに、余白は、材料のばらつき・荷の見積もり違い・衝撃・さびのために取ってあるものです。それらが重なれば、3倍より小さな荷でも、降伏点に届くことがあります。余白を、荷を増やすことに使ってはいけません。

「安全率は、大きいほどよい」

大きすぎると、部品が重く、高くなります。クレーンなら、フックが重くなるぶん、ワイヤもモータも大きくしなければなりません。

安全率を4倍にすると、直径は2倍、重さは4倍になります。

「安全率」「使用率」「許容応力」の取り違え

安全率は「安全係数」とも言います。

この公式が使える条件

• 首は、荷重でまっすぐ引っぱられる（曲げやねじりは考えない）
• 応力は、断面に均一に広がる（ねじ山や角の段がある所は、応力が高くなる。応力集中 の単元で扱う）
• 荷重は、静かにかかる（繰り返しや衝撃は、安全率を大きくして見込む）
• フックの曲がった胴の部分は、曲げも受けるので、この単元の式では決まらない。この単元では、首だけを考える
• 安全率の値（3・5・8・12）は目安。実際の機械では、法令・規格の決まりに従う

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

許容応力から直径へ：首の応力は、荷重を断面積で割ったものです。

$$\sigma = \dfrac{\sarW}{A}, \qquad A = \dfrac{\pi\,d^2}{4}$$

応力を許容応力 $\sksSigmaA$ 以下にしたいので、ちょうど等しくなる断面積を求めます。

$$\dfrac{\sarW}{A} = \sksSigmaA \qquad\Longrightarrow\qquad A = \dfrac{\sarW}{\sksSigmaA} = \dfrac{20000\ \mathrm{N}}{78.33\ \mathrm{N/mm^2}} = 255.3\ \mathrm{mm^2}$$

$A = \pi d^2/4$ を $d$ について解くと、

$$d = \sqrt{\dfrac{4A}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4 \times 255.3}{\pi}} = 18.03\ \mathrm{mm}$$

許してよい荷重が 1/S になること：同じ断面積 $A$ で、降伏し始める荷重は $\sarWy = \sarSigY A$、許してよい荷重は $\sarWa = \sksSigmaA A = \sarSigY A / \sksS$ です。比をとると $A$ も $\sarSigY$ も消えて、$\sarWa / \sarWy = 1/\sksS$ になります。