はりのいちばん危ない場所は、グラフで見つかるせん断力図と曲げモーメント図

橋の、いちばん危ない場所はどこ？

橋の上を、トラックが渡ります。橋げたの、いちばん危ない場所はどこでしょうか。

予想してから読む後ろの車軸が前の車軸の2倍重いトラックが、橋の真ん中あたりにいます。橋げたをいちばん強く曲げているのは、どこでしょうか。

A橋の真ん中B重い後ろの車軸の真下C橋台の上（橋の両端）

真ん中だと思うかもしれません。

でも、トラックの重さは、前と後ろの車軸に分かれてかかっています。後ろの車軸のほうが、ずっと重いトラックもあります。いちばん危ない場所は、真ん中とは限りません。

その場所をひと目で見つける道具が、この単元の2つの図、せん断力図（SFD）と曲げモーメント図（BMD）です。答えは、最後の「トラックの答え」で出します。

はり全体を、シーソーと見る

図心（断面の中心） の単元のシーソーを思い出します。支点から 1 m に 2 kg、反対側の 2 m に 1 kg を載せると、シーソーは水平に止まりました。

止まっているとき、決まりが2つ成り立っています。この単元では、この2つだけを使います。

断面の章で「回す効き目」と呼んできたのが、決まり2の「力 × 距離」です。

この2つの決まりを、はりに当てます。長さ 1.5 m のはりを、2つの台に渡します。左の台から 0.5 m のところに、3 kN のおもりをつるします。左右の台は、どれだけの力で支えているでしょうか。

右の台を、シーソーの支点と見ます。左の台の力と、おもりは、はりを逆の向きに回そうとします。左の台の力は支点から 1.5 m、おもりは支点から 1 m です。

決まり2の式を、先に置きます。

$$(\text{左の台の力}) \times (\text{支点までの距離}) = (\text{おもり}) \times (\text{支点までの距離})$$

数を入れます。

$$\sRA \times 1.5 = 3 \times 1$$

両辺を 1.5 でわります。

$$\sRA = \dfrac{3}{1.5} = 2\ \mathrm{kN}$$

次は決まり1です。上向きの力の合計は、おもりと同じ 3 kN です。だから、右の台の力は残りの分です。

$$\sRB = 3 - 2 = 1\ \mathrm{kN}$$

おもりに近い台ほど、大きく支えます。上下を逆さにして見ると、シーソーと同じ形です（台が支点、おもりの代わりに台の力）。

切って、片側だけをシーソーと見る

次は、はりの中の力です。見えない面で、はりを途中で切ったと考えます。

切る前は、切り口の左と右が材料でつながって、おたがいを支えています。ぴんと張ったロープの左右が、内側で引き合っているのと同じです。

左側だけを取り出して、つながっていた力を切り口に描き足します。取り出した左側も、止まっています。だから、シーソーの2つの決まりが、左側だけでも成り立ちます。

左の台から 0.2 m のところで切ります。

決まり1。 左の台は、2 kN で押し上げています。左側が浮き上がらないためには、切り口で右側が 2 kN で押し下げているはずです。

この、切り口を上下にずらそうとする力を、せん断力と言います。記号は $\sV$ です。

決まり2。 今度は、切り口をシーソーの支点と見ます。左の台の力は、切り口から 0.2 m 離れています。

$$(\text{力}) \times (\text{距離}) = 2 \times 0.2 = 0.4\ \mathrm{kN\cdot m}$$

左側が回らないためには、切り口で右側が、同じ 0.4 kN·m で逆向きに回し返しているはずです。

図心の単元から使ってきた「力 × 距離」に、ここで名前が付きます。曲げモーメントです。記号は $\sM$ です。単位は kN·m（キロニュートンメートル）で、$1\ \mathrm{kN\cdot m} = 1{,}000{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$ です。

まとめると、$\sV$ は切り口をずらす力、$\sM$ ははりを曲げようとする回す効き目です。どちらも、切り口の左側にある力だけで決まります。

$$\underbrace{\sV}_{\text{決まり1}} = (\text{左側の上向きの力}) - (\text{左側の下向きの荷重})$$ $$\underbrace{\sM}_{\text{決まり2}} = \text{左側の力それぞれの}\ (\text{力} \times \text{切り口までの距離})\ \text{を足したもの}$$

右側だけを見ても、大きさは同じ答えになります。はり全体が止まっているからです。荷重の少ない側を見ると、計算が楽です。

向きは、プラスとマイナスで分ける

$\sV$ も $\sM$ も、向きをプラスとマイナスで分けます。位置 $x$ は、左端（片持ちばりでは、壁に固定した端）から測ります。

さっきの切り口は、左の台に押し上げられているので、$\sV = +2\ \mathrm{kN}$ です。はりは下に凸に曲がるので、$\sM = +0.4\ \mathrm{kN\cdot m}$ もプラスです。

壁から突き出した棒の先に、おもりをつるすと、棒は上に凸に曲がります。このときの $\sM$ はマイナスです。

図は、$\sV$ も $\sM$ も、プラスを上に描きます。教科書によっては、$\sM$ を、はりが引き伸ばされる側（下側）に描くので、上下が逆に見えます。描く向きが違うだけで、符号の約束は同じです。この約束は、たわみの微分方程式と積分法 の単元でも、そのまま使います。

切る位置を動かして、図を描く

さっきのはりで、切る位置を左から右へ動かしていきます。

おもりより左の区間。 ここで切ると、左側にある力は、左の台の 2 kN だけです。だから $\sV$ は、どこで切っても +2 kN です。

$\sM$ は、2 kN × 切り口までの距離です。距離が延びるほど、$\sM$ はまっすぐ大きくなります。おもりの真下では、次のとおりです。

$$\sM = 2 \times 0.5 = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$$

おもりを越えた区間。 左の台から 1 m で切ります。左側には、上向きの 2 kN と、下向きの 3 kN が入っています。

$$\sV = 2 - 3 = -1\ \mathrm{kN}$$

おもりのところで、$\sV$ はおもりの 3 kN だけ、階段のように下がります。

$\sM$ は、切り口を支点にしたシーソーで考えます。左の台の力は 1 m 離れて、プラスの向きに回します。おもりは 0.5 m 離れて、逆向きに回します。

$$\sM = 2 \times 1 - 3 \times 0.5 = 2 - 1.5 = 0.5\ \mathrm{kN\cdot m}$$

右の台の真上。 左側には、はり全体が入ります。$\sV$ は、右の台の 1 kN が加わって、0 に戻ります。

$$\sM = 2 \times 1.5 - 3 \times 1 = 3 - 3 = 0$$

右の端で、$\sV$ も $\sM$ も 0 に戻りました。0 に戻らなければ、台の力か、途中の足し算をまちがえています。この確かめ方は、どんなはりでも使えます。

できた図を見ると、$\sM$ がいちばん大きいのは、おもりの真下で、1 kN·m です。そこは、$\sV$ がプラスからマイナスに変わる場所でもあります。

M の傾きは、V

なぜ $\sV$ が変わる場所で、$\sM$ が頂上になるのでしょうか。切る位置を少しだけずらして、シーソーで見ます。

おもりより左で、切る位置を 0.1 m 右へずらします。左の台の力は、切り口から 0.1 m 遠くなります。だから、回す効き目が増えます。

$$\Delta \sM = 2 \times 0.1 = 0.2\ \mathrm{kN\cdot m}$$

0.1 m 進むごとに、$\sM$ は 0.2 ずつ増えます。この 2 は、$\sV$ の 2 です。

おもりを越えたところでも、0.1 m ずらします。左の台の力は 0.2 増やします。おもりは逆向きなので、$3 \times 0.1 = 0.3$ 減らします。

$$\Delta \sM = 0.2 - 0.3 = -0.1 = (-1) \times 0.1$$

これも、$\sV = -1$ と、進んだ 0.1 m のかけ算です。

つまり、$\sM$ の増え方は「$\sV$ × 進んだ距離」です。言いかえると、$\sM$ のグラフの傾きが $\sV$ です。教科書では、微分の形で書きます。

$$\dfrac{d\sM}{d\sx} = \sV$$

$\sV$ がプラスのあいだ、$\sM$ のグラフは上り。マイナスになると下りです。上りから下りに変わる場所が、$\sM$ の頂上です。だから $\sM$ の最大は、$\sV$ がプラスからマイナスに変わる場所にあります。

逆に、$\sM$ は、$\sV$ を左から積み上げて作れます。$\sV$ の図の面積が、$\sM$ の増えた量です。左の台からおもりまで、$\sV = 2$ が 0.5 m 続くので、$2 \times 0.5 = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$ 増えます。おもりの真下の $\sM$ と同じです。

基本のはりを、同じ手順で

はりの基本の形は、支え方と荷重のかけ方で4つあります。どれも、切って、片側をシーソーと見る手順は同じです。長さはどれも 1.5 m です。

両端を支えて、真ん中に 3 kN

左右が同じ形なので、台は半分ずつ、1.5 kN を支えます。$\sV$ は +1.5 kN から、真ん中で −1.5 kN へ下がります。だから $\sM$ の頂上は真ん中です。

真ん中で切ると、台の力 1.5 kN は、切り口から 0.75 m 離れています。

$$\sM_{\max} = 1.5 \times 0.75 = 1.125\ \mathrm{kN\cdot m}$$

言葉で書くと、荷重の半分 × 長さの半分です。2つの半分で、荷重 × 長さの 4分の1 になります。

$$\sM_{\max} = \dfrac{\sP}{2} \times \dfrac{\sL}{2} = \dfrac{\sP\sL}{4}$$

壁から突き出して、先に 3 kN

壁の側には、壁が支える力が入ります。そこで今度は、先の側だけを取り出します。先の側には、おもりの 3 kN だけです。$\sV$ は、どこで切っても 3 kN です。

$\sM$ は、3 kN × 先までの距離です。壁のところで、いちばん大きくなります（向きは上に凸なので、マイナスです）。

$$|\sM|_{\max} = 3 \times 1.5 = 4.5\ \mathrm{kN\cdot m}$$

両端を支えたはりの 1.125 kN·m の、ちょうど4倍です。理由は2つあります。

$$\underbrace{\sP}_{\text{台の力：半分→全部　×2}} \times \underbrace{\sL}_{\text{距離：半分→全部　×2}} = 4 \times \dfrac{\sP\sL}{4}$$

壁から長く突き出した棚受けを、根元でいちばん強く作るのは、このためです。

荷重を全長に広げた2つ

荷重を、1 m あたり 3 kN で全長に広げてかけます（合計 4.5 kN）。広げた荷重の記号は $\sw$ です。手順は同じです。

切る位置を動かすと、片側に乗る荷重が少しずつ増えます。だから $\sV$ は斜めの直線です。$\sM$ の傾きは $\sV$ でした。$\sV$ が少しずつ変わるので、$\sM$ は曲線（放物線）になります。

広げた荷重は、図心（断面の中心） の単元の板の重さと同じで、その真ん中にまとめて考えてかまいません。

壁から突き出した棒では、先の側の荷重 4.5 kN を、真ん中（壁から 0.75 m）にまとめます。

$$|\sM|_{\max} = 4.5 \times 0.75 = 3.375\ \mathrm{kN\cdot m}\qquad\left(= \dfrac{\sw\sL^2}{2}\right)$$

両端を支えたはりでは、台が 2.25 kN ずつ支えます。真ん中で切ると、左半分の荷重 2.25 kN が、切り口から 0.375 m のところにまとまって、逆向きに回します。

$$\sM_{\max} = 2.25 \times 0.75 - 2.25 \times 0.375 = 0.84375 \fallingdotseq 0.844\ \mathrm{kN\cdot m}\qquad\left(= \dfrac{\sw\sL^2}{8}\right)$$

4つを並べると、荷重のかけ方と図の形が、次のようにつながっています。

どの数字が、いちばん効く？

はりを2倍に長くすると、$\sM$ はどれだけ増えるでしょうか。

真ん中に1点の荷重。 $\sM$ は、台の力 × 長さの半分でした。長さを2倍にしても、台の力は荷重の半分のまま。距離だけが2倍になります。

$$\dfrac{\sP\sL}{4}:\quad \dfrac{3 \times 1.5}{4} = 1.125 \ \xrightarrow{\ \times 2\ }\ \dfrac{3 \times 3}{4} = 2.25\ \mathrm{kN\cdot m}$$

全長に広げた荷重。 長さを2倍にすると、広げた荷重の合計も2倍になります。まとめた力も、そこまでの距離も2倍。だから $\sM$ は4倍です。

$$\dfrac{\sw\sL^2}{8}:\quad \dfrac{3 \times 1.5^2}{8} = 0.84375 \ \xrightarrow{\ \times 4\ }\ \dfrac{3 \times 3^2}{8} = 3.375\ \mathrm{kN\cdot m}$$

1割（10%）ずつ変えたときの変わり方も、並べておきます。

片持ちばりも、長さへの効き方は同じです（1点の荷重は $\sM = \sP\sL$、広げた荷重は $\sM = \sw\sL^2/2$）。

最後に、同じ重さを1点にまとめるか、全長に広げるか、を比べます。合計 4.5 kN を真ん中にまとめると、$4.5 \times 1.5 / 4 = 1.6875\ \mathrm{kN\cdot m}$ です。

真ん中で切ると、台の力の効き目は、どちらも同じ $2.25 \times 0.75$ です。ただ、広げたほうは、左半分に乗った荷重が逆向きに回します。力は台と同じ 2.25 kN で、距離は半分。だから、ちょうど半分を打ち消します。

$$1.6875 \ \xrightarrow{\ \times \frac{1}{2}\ }\ 0.84375\ \mathrm{kN\cdot m}$$

広げてかけると、$\sM$ は、まとめてかけたときの半分になります。

トラックの答え

冒頭のトラックに戻ります。橋の長さは 6 m。前の車軸は 40 kN で、左の橋台から 2 m。後ろの車軸は 80 kN で、その 1.5 m 後ろ（左の橋台から 3.5 m）です。

橋台が支える力。 右の橋台をシーソーの支点にします（決まり2）。前の車軸は支点から 4 m、後ろの車軸は 2.5 m です。

$$\sRA \times 6 = 40 \times 4 + 80 \times 2.5 = 160 + 200 = 360$$ $$\sRA = 360 \div 6 = 60\ \mathrm{kN},\qquad \sRB = 120 - 60 = 60\ \mathrm{kN}$$

V の図。 左から描きます。左の橋台で +60 kN。前の車軸で 40 下がって +20 kN。後ろの車軸で 80 下がって −60 kN です。

$\sV$ がプラスからマイナスに変わるのは、後ろの車軸の下です。だから $\sM$ の頂上は、そこにあります。

後ろの車軸の真下で切る。 左側をシーソーと見ます。左の橋台の 60 kN は 3.5 m 離れて、前の車軸の 40 kN は 1.5 m 離れて逆向きに回します。

$$\sM = 60 \times 3.5 - 40 \times 1.5 = 210 - 60 = 150\ \mathrm{kN\cdot m}$$

真ん中で切ると。

$$\sM = 60 \times 3 - 40 \times 1 = 180 - 40 = 140\ \mathrm{kN\cdot m}$$

後ろの車軸の真下の 150 kN·m のほうが、真ん中の 140 kN·m より大きくなります。いちばん危ない場所は、真ん中ではなく、重い後ろの車軸の真下でした。

トラックが進むと、車軸の位置が変わり、図も変わります。動く荷重は、位置ごとに図を描いて、いちばん大きい $\sM$ を探します。

M が最大の場所から、折れる

割り箸の両端を支えて、真ん中を指で押すと、真ん中から折れます。$\sM$ が最大の断面です。

はりのどこが壊れやすいかは、まず BMD で $|\sM|$ が最大の位置を探します。この単元のはりなら、おもりの真下の $\sM = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$ です。

次は、$\sM$ が分かったとき、断面のどこに、どれだけの応力が出るか、です。割り箸を曲げると、なぜ外側からひびが入るのか。その答えも、ここから出てきます。次の 曲げ応力の式 の単元で、この $1\ \mathrm{kN\cdot m}$ を鋼の角棒の縁の応力に直します。

動かしてみよう

はりの種類を選び、荷重のスライダーを動かして、V の図と M の図の高さが、どう変わるかを見てください。次に、長さ $\sL$ を2倍にして、上の表のとおりに M と V が変わることを確かめます。

「単純支持・任意の位置」を選ぶと、荷重の位置 $a$ を動かせます。荷重を左の台に近づけると、左の台の力が大きくなって、V の階段が高くなります。M の山の頂上は、荷重と一緒に動きます。

青い点線は、切っている位置 $x$ です。最初は、本文と同じ 0.2 m です。動かして、V が 0 を横切る位置で、M が頂上になることを見てください。

SFD・BMDはりの種類を選んで、荷重・長さ・切る位置を動かします

試してみよう0 / 3

1. 1切る位置 x を、おもりを越えた 1 m に動かして、図の V と M の数字を見る（まだ）
2. 2切る位置 x を、V が 0 を横切る 0.5 m に合わせる（まだ）
3. 3「片持ち・先端荷重」に切り替えて、同じ P = 3 kN・L = 1.5 m の M の最大を、「単純支持・中央荷重」の 1.125 kN·m と比べる（まだ）

片持ち・先端荷重片持ち・等分布単純支持・中央荷重単純支持・等分布単純支持・任意の位置

x切る位置（左端から）−m＋

P荷重−kN＋

Lはりの長さ−m＋

a左の支点から荷重までの距離−m＋

左右の端を支えたはり。位置 x は、左端から測ります。V は上向きが正、M は下に凸に曲げる向きが正です。青い点線は、切っている位置です。黒い破線は、比べる相手（初期値）です。縦の高さは相手とそろえ、横は長さによらず同じ幅に描きます。

いまの M の最大を残して比べるM の最大は、初期値（1 kN·m）の ×1

左の支点の反力

$R_A = 2\ \mathrm{kN}$

右の支点の反力

$R_B = 1\ \mathrm{kN}$

最大せん断力（絶対値）

$|V|_{\max} = 2\ \mathrm{kN}$

最大曲げモーメント（絶対値）

$|M|_{\max} = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$

M が最大の位置（左端から）

$x = 0.5\ \mathrm{m}$

いちばん曲げられるのは、荷重がかかる位置（V が + から − に変わる位置）です。ここがいちばん壊れやすい断面になります。

求め方を見る（単純支持・任意の位置に荷重）

1. 右の台を支点と見て、力 × 距離の釣り合いから左の台の力。右の台は残り。荷重に近い台ほど、大きく支える

   $$R_A = \dfrac{P\,(L-a)}{L} = 2\ \mathrm{kN},\qquad R_B = P - R_A = 1\ \mathrm{kN}$$

2. 荷重より左では V = +RA、右では −RB。荷重の位置で、V は P だけ下がる

   $$V = +2\ \mathrm{kN}\ (x < a),\qquad V = -1\ \mathrm{kN}\ (x > a)$$

3. M は、V が + のあいだ上がり、− になると下がる。頂上は、V が + から − に変わる荷重の位置

   $$M(a) = R_A\,a = \dfrac{P\,a\,(L-a)}{L} = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$$

4. 最大。V の最大は、荷重に近い台の側

   $$|V|_{\max} = 2\ \mathrm{kN},\qquad M_{\max} = 1\ \mathrm{kN\cdot m}$$

よくある勘違い

「V が大きい場所が、いちばん危ない」

ちがいます。両端を支えて、真ん中に荷重をかけたはりで見ます。

$\sV$ の大きさは、台から真ん中まで、どこでも同じ（$\sP/2$）です。でも、台のところで $\sM$ は 0 です。そして、$\sM$ がいちばん大きい真ん中で、$\sV$ は 0 を通ります。

ずらす力が 0 の場所で、はりはいちばん強く曲げられています。「$\sV = 0$ なら、何の力も働いていない」も、同じ勘違いです。

「M の図は、はりの曲がった形」

これもちがいます。BMD は、曲げモーメントの大きさのグラフです。

壁から突き出した棒で比べると、形がちがいます。先に荷重をかけると、$\sM$ の図は先端で 0 の直線です。でも、はりは先端でいちばん下がります。はりがどんな形に曲がるかは、たわみの微分方程式と積分法 の単元で、$\sM$ から求めます。

この図が使える条件

• はりの重さは考えません。重さが無視できないときは、自重を広げた荷重として足します。
• 荷重は、静かにかけて、動かさない場合です。動く荷重（トラック）は、位置ごとに図を描いて、いちばん大きい図を探します。
• 1点にかかる荷重は、1点にかかる、と見なした理想化です。実際は、小さな面積にかかっています。
• 細長いはりで、たわみが長さに比べて十分小さい場合です。

V = dM/dx の導き方（くわしく知りたい人へ）

本文では、切る位置を 0.1 m ずらして見ました。その幅を、ごく短い $dx$ にします。

はりから、長さ $dx$ の短い部分を切り出します。左の切り口には $\sV$ と $\sM$、右の切り口には $\sV + d\sV$ と $\sM + d\sM$ が働いています。荷重は、広げた荷重で $\sw$（下向き）とします。

決まり1（上下の力の釣り合い）から、

$$\sV - (\sV + d\sV) - \sw\,dx = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{d\sV}{d\sx} = -\sw$$

$\sV$ の傾きは、$-\sw$ です。荷重の無い区間では、傾きが 0 で、$\sV$ は水平になります。

決まり2（右の切り口まわりの、力 × 距離の釣り合い）から、$dx$ の2乗の項を小さいとして消すと、

$$\sM + \sV\,dx - (\sM + d\sM) = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{d\sM}{d\sx} = \sV$$

です。2つを合わせると、$d^2\sM/d\sx^2 = -\sw$。たわみの微分方程式 $\sE\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$（たわみの微分方程式と積分法）から、さらに $\sE\sI\,d^4\sv/d\sx^4 = \sw$ が出ます。荷重 → せん断力 → 曲げモーメント → たわみ角 → たわみと、1回積分するごとに、1つ先の量が出てきます。