直径を2倍にすると、ねじれは16分の1丸軸のねじり

回す力は、棒をねじっている

ドライバーでネジを締めます。ペットボトルのキャップを開けます。雑巾を両手で絞ります。

どれも、物を軸のまわりに回す動きです。

このとき、ドライバーの軸も、雑巾も、ねじられています。手で回す側と、ネジの側とのあいだで、棒がわずかにねじれているのです。

ここで1つ、問いを置きます。ドライバーの軸を、2倍の太さに替えます。ねじれにくさは、何倍になるでしょうか。

予想してから読むドライバーの軸を、2倍の太さ（直径2倍）に替えます。同じトルクで回したとき、ねじれにくさは何倍？

A2倍B4倍C8倍D16倍

答えは、2倍でも4倍でもありません。曲げの単元で使った道具を、そのまま使うと出せます。

回す効き目は「力 × 距離」

シーソーの決まりを思い出します。シーソーを回す効き目は、力 × 支点からの距離でした。

軸のまわりに回す効き目も、同じです。力に、軸から力までの距離（腕の長さ）をかけます。

$$\sTq = \text{力} \times \text{腕の長さ}$$

軸のまわりに回す効き目を、ねじりモーメント、またはトルクと呼びます。記号は $\sTq$、単位は N·m です。

ドライバーで確かめます。ネジを締めるのに 0.6 N·m が要るとします（この例で決めた値）。指で柄をつかんで回す力は、上の式を「力 ＝ トルク ÷ 腕の長さ」と読みかえて出します。

$$\text{力} = \dfrac{\sTq}{\text{腕の長さ}} = \dfrac{0.6\ \mathrm{N\cdot m}}{0.01\ \mathrm{m}} = 60\ \mathrm{N}$$

柄の半径が 10 mm なら、60 N です。柄を半径 15 mm の太いものに替えると、0.6 ÷ 0.015 で 40 N に減ります。

ここからは、回された軸の中を見ます。軸の中の応力と、軸のねじれの大きさです。

曲げと同じ4段で進む

曲げの式 $\sigma = \sM\,y/\sI$ は、4段で出しました（曲げ応力の式）。はりの断面を、中立軸に平行な帯に切って考えました。

1. 帯の伸び縮みは、中立軸からの距離に比例する
2. フックの法則で、応力も距離に比例する
3. 帯の力 × 距離を全部足すと、曲げモーメントと釣り合う。ここで $\sI$ が出る
4. 釣り合いの式を解いて、$\sigma = \sM\,y/\sI$

ねじりも、この4段をそのままたどります。置きかえるのは、3つだけです。

1段目：ずれは、中心からの距離に比例する

ゴムの棒の表面に、端から端まで、まっすぐな線を引いておきます。片方の端を固定して、反対の端をねじると、線はらせんに傾きます。

ねじった端が、固定した端に対して回った角度を、ねじれ角 $\sphiTw$ と呼びます。単位はラジアン（rad）です。1 rad は約 57.3 度です。

棒の長さを $\sLax$、中心からの距離を $\srRod$ とします。

中心から $\srRod$ の点は、円周の向きに、弧の長さ $\srRod\,\sphiTw$ だけ動きます。この動きを、棒の長さ $\sLax$ のあいだで少しずつ受け持ちます。

線の傾きは、動いた量 ÷ 長さ です。これがせん断ひずみ $\gamma$（ガンマ）です。

$$\gamma = \dfrac{\srRod\,\sphiTw}{\sLax}$$

分子に $\srRod$ があります。中心から遠い輪ほど、大きくずれます。中心の点は、ずれません。

曲げでは、中立軸から遠い帯ほど、大きく伸び縮みしました。ねじりでは、中心から遠い輪ほど、大きくずれます。

2段目：応力も、距離に比例する

曲げでは、フックの法則 $\sigma = \sE\,\varepsilon$ で、伸び縮みを応力に直しました。

ずれにも、同じ形の法則があります。$\tau = \sGshear\,\gamma$ です。

$\sGshear$ はせん断弾性係数で、ずれにくさを表す材料の定数です。鋼でおよそ 79 GPa（目安）です。$\sE$ と同じく、試験で測ってきた値です。

1段目の $\gamma$ を入れます。

$$\tau = \sGshear\,\gamma = \sGshear\,\dfrac{\srRod\,\sphiTw}{\sLax}$$

断面のせん断応力は、中心で 0 です。表面に向かって直線で大きくなり、表面で最大です。向きは、円周に沿った向きです。

3段目：輪の力 × 距離を全部足すと、トルクと釣り合う

断面を、中心を囲む薄い輪に切ります。中心から $\srRod$ の輪の面積を $\Delta A$ とします。

輪には、応力 × 面積 で $\tau\,\Delta A$ の力がかかります。この力が軸を回す効き目は、シーソーと同じ「力 × 距離」です。

$$\text{輪の効き目} = \underbrace{\tau\,\Delta A}_{\text{輪の力}} \times \underbrace{\srRod}_{\text{距離}}$$

2段目の $\tau$ を入れます。$\tau$ の中にも $\srRod$ があるので、距離が2回かかります。

$$\text{輪の効き目} = \sGshear\,\dfrac{\srRod\,\sphiTw}{\sLax}\,\Delta A \times \srRod = \dfrac{\sGshear\,\sphiTw}{\sLax} \times \Delta A\,\srRod^2$$

距離が 2倍の輪は、力が 2倍で、腕も 2倍です。効き目は、同じ面積なら 4倍になります。曲げの帯と同じ「距離の2乗」です。

すべての輪の効き目を足したものが、外からかけたトルク $\sTq$ と釣り合います。$\sGshear\,\sphiTw/\sLax$ はどの輪でも同じなので、外へ出せます。

$$\sTq = \dfrac{\sGshear\,\sphiTw}{\sLax} \times \sum \Delta A\,\srRod^2$$

残った「輪の面積 × 距離² を全部足したもの」に、名前を付けます。極断面二次モーメント $\sJpolTw$ です。

$$\sJpolTw = \sum \Delta A\,\srRod^2 \qquad\Longrightarrow\qquad \sTq = \dfrac{\sGshear\,\sphiTw}{\sLax}\,\sJpolTw$$

曲げの $\sI$ は「帯の面積 × 中立軸からの距離²」の和でした。$\sJpolTw$ は「輪の面積 × 中心からの距離²」の和です。

4段目：τ = T r / J

3段目の釣り合いの式を、1段ずつ変形します。

両辺を $\sJpolTw$ で割ります。

$$\dfrac{\sGshear\,\sphiTw}{\sLax} = \dfrac{\sTq}{\sJpolTw}$$

左辺は、2段目の式 $\tau = (\sGshear\,\sphiTw/\sLax) \times \srRod$ のかっこの中と同じです。かっこを、右辺の $\sTq/\sJpolTw$ に置きかえます。

$$\tau = \dfrac{\sTq\,\srRod}{\sJpolTw}$$

言葉で読むと、「応力 ＝ トルク × 中心からの距離 ÷ 極断面二次モーメント」です。

同じ式の両辺に $\sLax/\sGshear$ をかけると、ねじれ角の式も出ます。

$$\sphiTw = \dfrac{\sTq\,\sLax}{\sGshear\,\sJpolTw}$$

4段を、曲げと並べます。

どちらも、遠い材料ほど大きく働きます。だから、材料を外へ置くほど効きます。

丸棒の J は、曲げの I の2倍

丸棒の $\sJpolTw$ は、断面二次モーメント の結果から出せます。

断面の中の1点を考えます。中心からの距離 $\srRod$ は、横の距離 $x$ と縦の距離 $y$ で、三平方の定理から次のように書けます。

$$\srRod^2 = x^2 + y^2$$

これを $\sJpolTw$ の和に入れて、2つの和に分けます。

$$\sJpolTw = \sum \Delta A\,(x^2 + y^2) = \underbrace{\sum \Delta A\,y^2}_{\text{横の軸まわりの } I} + \underbrace{\sum \Delta A\,x^2}_{\text{縦の軸まわりの } I}$$

丸棒は、どの向きの軸まわりでも $\sI = \pi\sdRod^4/64$ です。足すと2倍になります。

$$\sJpolTw = 2 \times \dfrac{\pi\sdRod^4}{64} = \dfrac{\pi\sdRod^4}{32}$$

32 は、曲げの 64 を2で割った数です。

直径は4乗で効きます。直径を増やすと、材料が増えるうえに、増えた材料が中心から遠くにあって、距離の2乗で効くからです。

表面の応力は、$\srRod = \sdRod/2$ を入れたものです。$\sJpolTw$ を表面までの距離 $\sdRod/2$ で割った量を、極断面係数 $\sZpolTw$ と呼びます。曲げの断面係数 $\sZ = \sI/y_{\max}$ に当たります。

$$\stauMaxTw = \dfrac{\sTq\,(\sdRod/2)}{\sJpolTw} = \dfrac{\sTq}{\sZpolTw},\qquad \sZpolTw = \dfrac{\pi\sdRod^4/32}{\sdRod/2} = \dfrac{\pi\sdRod^3}{16}$$

公式を、かたまりに分けて読む

ねじれ角の式を、3つのかたまりに分けます。

$$\sphiTw = \underbrace{\sTq}_{\text{ねじる力（1乗）}} \times \underbrace{\sLax}_{\text{長さ（1乗）}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sGshear\,\sJpolTw}}_{\text{ねじれにくさの逆数}}$$

1. トルク $\sTq$（1乗）　トルクを2倍にすると、ねじれ角も2倍です。ばねを2倍の力で引くと、伸びも2倍になるのと同じです。
2. 長さ $\sLax$（1乗）　軸が2倍長いと、ねじれが2倍に積み重なります。同じ軸を2本つないで回すのと同じです。
3. ねじれにくさ $\sGshear\,\sJpolTw$　材料の定数 $\sGshear$ と、形の量 $\sJpolTw$ の積です。太さは4乗で効きます。

表面の応力 $\stauMaxTw = 16\,\sTq/(\pi\sdRod^3)$ には、$\sLax$ も $\sGshear$ も出てきません。トルクと直径だけで決まります。

実際にやってみる

車のホイールナットを締めるくらいのトルクで、鋼の丸棒がどれだけねじれ、応力がどこまで上がるかを出します。

棒は、直径 20 mm、長さ 500 mm、$\sGshear$ = 79 GPa です。トルクは 100 N·m です。計算は N と mm にそろえるので、$\sTq$ = 100,000 N·mm、$\sGshear$ = 79,000 N/mm² と書きます。

まず、形の量を2つ出します。

$$\sJpolTw = \dfrac{\pi\sdRod^4}{32} = \dfrac{\pi \times 20^4}{32} = 15{,}708\ \mathrm{mm^4},\qquad \sZpolTw = \dfrac{\pi\sdRod^3}{16} = \dfrac{\pi \times 20^3}{16} = 1{,}571\ \mathrm{mm^3}$$

表面の応力です。

$$\stauMaxTw = \dfrac{\sTq}{\sZpolTw} = \dfrac{100{,}000}{1{,}571} = 63.7\ \mathrm{MPa}$$

ねじれ角です。

$$\sphiTw = \dfrac{\sTq\,\sLax}{\sGshear\,\sJpolTw} = \dfrac{100{,}000 \times 500}{79{,}000 \times 15{,}708} = 0.0403\ \mathrm{rad}$$

0.0403 rad は 2.31 度です。

63.7 MPa は、鋼が降伏し始めるせん断応力の目安（約 135 MPa）の半分ほどです。

中心から 5 mm（半径の半分）の輪の応力は、63.7 MPa の半分です。応力は距離に比例するからです。

2.31 度は小さなねじれに見えます。それでも、半径 10 mm の表面の点は、弧の長さ $\srRod\,\sphiTw$ で約 0.4 mm 動いています。

ホイールナットは、100 N·m 前後で締める車が多いです（国産の乗用車では 85・103・108 N·m などで、車種ごとに決まっています）。

柄の長さが 0.5 m のレンチなら、柄の端を押す力は 100 ÷ 0.5 で 200 N です（およそ 20 kg の物を支える力）。柄が 0.25 m なら、400 N が要ります。

どの数字がいちばん効く？

寸法や材料を 10% だけ変えたとき、応力 $\stauMaxTw$ とねじれ角 $\sphiTw$ が何% 変わるかを並べます。

直径が、いちばん効きます。

冒頭のドライバーに戻る

冒頭の問いは、「ドライバーの軸を2倍の太さにすると、ねじれにくさは何倍か」でした。

ねじれ角は $\sJpolTw$ に反比例し、$\sJpolTw$ は直径の4乗です。

$$\dfrac{\text{太い軸のねじれ角}}{\text{細い軸のねじれ角}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16}$$

ねじれ角は 16分の1 です。ねじれにくさは 16倍になります。

表面の応力は、直径の3乗に反比例するので、8分の1 です。

数でも確かめます。軸の直径を 5 mm とします（この例で決めた値）。ネジを締める 0.6 N·m（600 N·mm）で、表面の応力は次のとおりです。

$$\stauMaxTw = \dfrac{16\,\sTq}{\pi\sdRod^3} = \dfrac{16 \times 600}{\pi \times 5^3} \fallingdotseq 24\ \mathrm{MPa}$$

降伏の目安の 5分の1 ほどです。直径を 10 mm にすると、その 8分の1 で、約 3.1 MPa です。

動かしてみよう

トルク、直径、長さ、材料を動かして、表面の応力とねじれ角がどう変わるかを見てください。

直径を2倍にしたとき、応力とねじれ角は、本当に 8分の1、16分の1 になるでしょうか。材料を鋼からアルミニウムに替えると、どちらの数字が変わるでしょうか。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1中心からの距離 r を、表面の 10 mm にして、5 mm のときの応力と比べる（まだ）
2. 2r を 5 mm に戻し、トルク T を2倍の 200 N·m にする（まだ）
3. 3T を 100 N·m に戻し、直径 d を2倍の 40 mm にする（まだ）

Tねじりモーメント（トルク）−N·m＋

d軸の直径−mm＋

L軸の長さ−mm＋

Gせん断弾性係数

鋼 79 GPa銅 45 GPaアルミニウム 26 GPa硬い樹脂（目安） 1 GPa

r中心からの距離−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べるねじれ角（度）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

ねじれの描き方いまの倍率　×12

倍率を固定実寸

ねじれは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×12 のまま変えないので、数字を変えると、ねじれの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\varphi} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-material}{G}\,\htmlClass{q-material}{J}}$$$$= \dfrac{100{,}000\ \mathrm{N\cdot mm} \times 500\ \mathrm{mm}}{79{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 15{,}708\ \mathrm{mm^4}}$$$$= 0.04029\ \mathrm{rad}$$

極断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{J} = 15{,}708\ \mathrm{mm^4}$

極断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z_p} = 1{,}571\ \mathrm{mm^3}$

表面のせん断応力（最大）

$\htmlClass{q-stress}{\tau_{\max}} = 63.66\ \mathrm{MPa}$

距離 r の位置のせん断応力

$\htmlClass{q-stress}{\tau_r} = 31.83\ \mathrm{MPa}$

ねじれ角

$\htmlClass{q-displacement}{\varphi} = 0.04029\ \mathrm{rad}$

ねじれ角（度）

$\htmlClass{q-displacement}{\varphi} = 2.309^{\circ}$

表面のせん断ひずみ（線の傾き）

$\htmlClass{q-displacement}{\gamma_{\max}} = 8.058\times 10^{-4}\ \mathrm{rad}$

途中の計算（導出）を見る

1. 極断面二次モーメント（薄い輪の「面積 × 距離の2乗」を、中心から表面まで足したもの）

   $$\htmlClass{q-material}{J} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^4}{32} = \dfrac{\pi \times 20^4}{32} = 15{,}708\ \mathrm{mm^4}$$

2. 極断面係数（J を、中心から表面までの距離 d/2 で割る）

   $$\htmlClass{q-material}{Z_p} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{J}}{\htmlClass{q-geometry}{d}/2} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^3}{16} = \dfrac{\pi \times 20^3}{16} = 1{,}571\ \mathrm{mm^3}$$

3. 表面のせん断応力（いちばん大きい）

   $$\htmlClass{q-stress}{\tau_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T}}{\htmlClass{q-material}{Z_p}} = \dfrac{100{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{1{,}571\ \mathrm{mm^3}} = 63.66\ \mathrm{MPa}$$

4. 中心から r だけ離れた位置のせん断応力（距離に比例）

   $$\htmlClass{q-stress}{\tau_r} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T}\,\htmlClass{q-geometry}{r}}{\htmlClass{q-material}{J}} = \dfrac{100{,}000\ \mathrm{N\cdot mm} \times 5\ \mathrm{mm}}{15{,}708\ \mathrm{mm^4}} = 31.83\ \mathrm{MPa}$$

5. ねじれ角（ラジアン）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\varphi} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-material}{G}\,\htmlClass{q-material}{J}} = \dfrac{100{,}000\ \mathrm{N\cdot mm} \times 500\ \mathrm{mm}}{79{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 15{,}708\ \mathrm{mm^4}} = 0.04029\ \mathrm{rad}$$

6. ねじれ角を度にする（1 rad ＝ 180/π 度）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\varphi} = \htmlClass{q-displacement}{\varphi} \times \dfrac{180}{\pi} = 0.04029 \times \dfrac{180}{\pi} = 2.309\ ^{\circ}$$

7. 表面に引いた直線の傾き（表面のせん断ひずみ）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\gamma_{\max}} = \dfrac{(\htmlClass{q-geometry}{d}/2)\,\htmlClass{q-displacement}{\varphi}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{(20/2) \times 0.04029}{500} = 8.058\times 10^{-4}\ \mathrm{rad}$$

よくある勘違い

「トルクと力は、同じもの」

力は N、トルクは N·m で、単位が違います。トルクは、力に腕の長さをかけたものです。同じ力でも、腕が長いほど、大きなトルクになります。

「ねじると、中心がいちばん苦しい」

逆です。中心の応力は 0 で、表面でいちばん大きくなります。ねじりで棒が壊れるときも、表面から始まります。

「強いこと」と「ねじれにくいこと」は、同じ

壊れにくいかは応力で、ねじれにくいかはねじれ角で決まります。別の量です。

「角棒にも使える」

この式が使えるのは、丸い断面だけです。四角い断面をねじると、断面は平らなままでなく、反ります。$\pi\sdRod^4/32$ のような式は、そのままでは使えません。

この単元で使う前提

• 断面は円形で、全体が同じ材料・同じ太さ（中実の丸軸）
• ねじっても、断面は平らなまま、半径は直線のまま回る
• 応力が、比例の範囲（フックの法則が成り立つ範囲）にある
• 棒の端の取り付け部から離れた、ふつうの部分を考える
• 長さは mm でそろえる（$\sTq$ を N·mm、$\sGshear$ を N/mm² で入れると、応力は MPa で出る）

式の導き方（積分で書く）

本文の「全部足す」は、輪を限りなく薄くすると積分になります。

ひずみ：半径 $\srRod$ の点は、端が $\sphiTw$ 回ると、円周の向きに $\srRod\,\sphiTw$ 動きます。長さ $\sLax$ のあいだで受け持つので、$\gamma = \srRod\,\sphiTw/\sLax$（傾きが小さいとき、角度とその正接は同じです）。

応力：せん断のフックの法則で、$\tau = \sGshear\,\gamma = \sGshear\,\srRod\,\sphiTw/\sLax$。

トルクとの釣り合い：半径 $\srRod$、厚さ $d\srRod$ の輪の面積を $dA$ とすると、

$$\sTq = \int \srRod\,\tau\,dA = \dfrac{\sGshear\,\sphiTw}{\sLax}\int \srRod^2\,dA = \dfrac{\sGshear\,\sphiTw}{\sLax}\,\sJpolTw$$

ここから、$\sphiTw = \sTq\,\sLax/(\sGshear\,\sJpolTw)$ と、$\tau = \sTq\,\srRod/\sJpolTw$ が出ます。

丸棒の J を、直接積分で：輪の面積 $dA = 2\pi\srRod\,d\srRod$ を使って、

$$\sJpolTw = \int_0^{\sdRod/2} \srRod^2 \cdot 2\pi\srRod\,d\srRod = 2\pi\cdot\dfrac{(\sdRod/2)^4}{4} = \dfrac{\pi\sdRod^4}{32}$$

本文の「$\sI$ の2倍」と同じ答えです。

極断面係数：$\sZpolTw = \sJpolTw/(\sdRod/2) = \pi\sdRod^3/16$。

G とヤング率の関係：どの向きにも同じ性質の材料では、縦弾性係数 $\sE$ とポアソン比 $\nu$ から、$\sGshear = \sE/(2(1+\nu))$ です。鋼（$\sE$ = 206 GPa、$\nu$ = 0.3）なら 79.2 GPa で、目安の 79 GPa と合います。アルミニウムは 26 GPa、銅は 45 GPa が目安です。