同じ重さでも、H形なら応力は約4分の1断面係数（形の効率）

定規は、立てると何倍折れにくい？

断面二次モーメント の単元で、プラスチックの定規（幅 30 mm、厚さ 2 mm）を比べました。立てると、寝かせたときの225倍曲がりにくくなりました。

今度は、曲げ続けて、折ってみます。平らに持って曲げると、定規はぐにゃりと曲がり、やがてパキッと割れます。立てて持つと、指の力ではびくともしません。

では、折れにくさも、225倍なのでしょうか。

予想してから読む幅 30 mm・厚さ 2 mm の定規。立てると、曲がりにくさは寝かせたときの225倍でした。では、折れにくさは何倍？

A225倍B15倍C変わらない

答えは、15倍です。曲がりにくさとは、別の量で決まるからです。この単元では、その量、断面係数 $\sZ$ を作ります。

折れるのは、縁から

曲げると、断面の外側ほど大きく伸び縮みします。前の単元 曲げ応力の式 で見たとおり、伸び縮みは中立軸からの距離に比例し、応力も距離に比例します。中立軸は図心を通り、そこでは応力が 0 です。

いちばん大きな応力を受けるのは、中立軸からいちばん遠い外側、縁です。片側の縁は押し縮められ、反対側の縁は引き伸ばされます。

縁の応力が、材料の強さに届くと、棒は曲がったまま戻らなくなったり、折れたりします。折れるのは、縁からです。だから、縁の応力 $\sigma_{\max}$ を求めれば、折れるかどうかが分かります。

曲げ応力の式で、縁の応力を出す

前の単元で、曲げ応力の式を作りました。帯の「力 × 距離」を全部足して、曲げモーメント $\sM$ と釣り合わせた式です。

$$\sigma = \dfrac{\sM\,y}{\sI}$$

縁は、中立軸からいちばん遠い場所です。その距離を $y_{\max}$ と書きます。$y$ のところに $y_{\max}$ を入れます。

$$\sigma_{\max} = \dfrac{\sM\,y_{\max}}{\sI}$$

分子の $y_{\max}$ を、分母へ移します。$y_{\max}$ をかけることは、$1/y_{\max}$ でわることと同じです。

$$\sigma_{\max} = \dfrac{\sM}{\sI / y_{\max}}$$

これで、式が2つに分かれました。分子の $\sM$ は、荷重で決まる量です（せん断力図と曲げモーメント図 の単元の図で求めました）。分母の $\sI / y_{\max}$ は、断面の形だけで決まる量です。

この分母に名前を付けて、断面係数 $\sZ$ と言います。前の単元の終わりで、長方形について見た量です。ここでは、どんな形にも広げます。単位は mm³（長さの3乗）です。

$$\sZ = \dfrac{\sI}{y_{\max}},\qquad \sigma_{\max} = \dfrac{\sM}{\sZ}$$

式を言葉で読むと、こうです。同じ曲げモーメントでも、$\sZ$ が大きい断面ほど、縁の応力は小さくて済みます。$\sZ$ が2倍なら、縁の応力は半分です。

$\sI$ が大きいと、$\sZ$ は大きくなります。でも、縁が遠い（$y_{\max}$ が大きい）と、その分、縁の応力は大きくなります。遠い縁は、大きく伸び縮みするからです。

長方形の Z を読む

長方形（幅 $\sb$、高さ $\sh$）では、$\sI = \sb\,\sh^3/12$、縁までの距離は $y_{\max} = \sh/2$ です。

$$\sZ = \dfrac{\sb\,\sh^3/12}{\sh/2} = \dfrac{\sb\,\sh^3}{12} \times \dfrac{2}{\sh} = \dfrac{\sb\,\sh^2}{6}$$

$\sh^3$ を $\sh$ でわって $\sh^2$。2/12 を約分して 1/6 です。

$$\sZ = \underbrace{\sb}_{\text{幅（1乗）}} \times \underbrace{\sh^2}_{\text{高さ（2乗）}} \times \underbrace{\dfrac{1}{6}}_{\text{長方形の係数}}$$

1. 幅 $\sb$（1乗）　幅を2倍にするのは、同じ断面を横に2つ並べるのと同じです。$\sZ$ も2倍です。
2. 高さ $\sh^2$（2乗）　高さを2倍にすると、$\sI$ は8倍。でも、縁までの距離も2倍になって、わり算で1回ぶん戻ります。8 ÷ 2 = 4倍です。
3. 係数 1/6　長方形の係数です。$\sI$ の 1/12 を、縁までの距離の 1/2 でわったものです。

冒頭の定規に戻る

使う式は $\sZ = \sb\,\sh^2/6$ です。寝かせたときと、立てたときを並べます。

$$\text{寝かせる：}\ \sZ = \dfrac{30 \times 2^2}{6} = 20\ \mathrm{mm^3} \qquad \text{立てる：}\ \sZ = \dfrac{2 \times 30^2}{6} = 300\ \mathrm{mm^3}$$

$300 / 20 = 15$。立てると、15倍折れにくくなります。

$\sI$ は 20 mm⁴ から 4,500 mm⁴ へ、225倍でした。縁までの距離は、1 mm から 15 mm へ、15倍です。$\sZ = \sI/y_{\max}$ なので、225 ÷ 15 = 15倍。立てると、曲がりにくさは225倍でも、縁が15倍遠くなる分、折れにくさは15倍にとどまります。

同じように、幅 30 mm・高さ 60 mm の長方形を立てると $\sZ = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$、寝かせると 9,000 mm³ で、2倍です（$\sI$ は4倍でした）。

形ごとの Z

どれも、断面二次モーメントの単元の $\sI$ を、$y_{\max}$ でわっただけです。丸棒と管は $y_{\max}$ が半径（$d/2$、$\sDout/2$）、H形は $\sH/2$ です。

同じ重さで、形を変えると

断面積を同じ 1,800 mm² にそろえて、形だけを変えます（同じ材料・同じ長さなら、同じ重さ。鋼なら 1 m あたり約 14 kg）。基準は、同じ断面積の正方形（一辺 42.4 mm）です。

主役は H形です。曲げモーメントは、せん断力図と曲げモーメント図 の単元のはり（長さ 1.5 m、左から 0.5 m に 3 kN のおもり）の、おもりの真下の値を使います。$\sM = 1\ \mathrm{kN\cdot m} = 1{,}000{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$ です。

使う式 $\sigma_{\max} = \sM/\sZ$ に、この $\sM$ を入れて比べます。

$$\text{正方形：}\ \dfrac{1{,}000{,}000}{12{,}728} = 78.6\ \mathrm{MPa} \qquad \text{H形：}\ \dfrac{1{,}000{,}000}{55{,}200} = 18.1\ \mathrm{MPa}$$

縁の応力は、H形が正方形の約 4.3分の1です。$\sZ$ が 4.34倍なので、応力は 4.34 でわった大きさになります。

H形は、正方形の中ほどの材料を、上と下の縁の近くへ移した形です。シーソーで言えば、おもりを支点（中立軸）から遠くへ置きなおしたのです。中空の管が大きいのも、同じ理由です。丸棒が正方形より少し小さい（0.85）のは、中立軸から遠い材料が、角のぶん少ないからです。

曲がりにくさと、折れにくさは、別の量

同じ H形でも、同じ重さの正方形に対して、$\sI$ は 10.2倍、$\sZ$ は 4.34倍です。高さを上げると、材料は中立軸から遠くなります。でも、縁そのものも遠くなるので、$\sZ$ は $\sI$ ほど伸びません。冒頭の定規の、225倍と15倍と同じです。

何を守りたいかで、見る量が変わります。たわみを抑えたい棚板なら $\sI$ を、折れては困るフックの腕なら $\sZ$ を、先に見ます。

どの寸法がいちばん効く？

寸法を 10% だけ変えたとき、$\sZ$ が何% 変わるかと、断面積（重さ）が何% 変わるかを並べます。長方形は 30 × 60 mm（立てる）、丸棒は直径 60 mm、管は外径 60 mm・肉厚 3 mm、H形は高さ 100・幅 60・フランジの厚さ 10・ウェブの厚さ 7.5 mm です。

主役は、長方形の高さと幅です。同じ 10% の材料を足しても、高さに足すと +21%、幅に足すと +10%。中立軸から遠ざかる向きに足した材料ほど、よく効きます。

丸棒は、直径が3乗で効きます。直径を2倍にすると、$\sZ$ は 2³ ＝ 8倍。同じ材料・同じ長さなら、太さが2倍の割り箸は、折るのに8倍の力が要ります。

管は、肉厚を厚くするより、外径を太くして肉厚を薄くしたほうが、同じ重さで $\sZ$ を稼げます。H形のウェブは、厚くしても $\sZ$ がほとんど増えません。ウェブの役目は、上下のフランジをつなぐことです。

上下が非対称な断面

ここまでの断面は、中立軸から上の縁までと、下の縁までの距離が同じでした。T形のように上下で形が違う断面は、図心が真ん中からずれます。中立軸は図心を通るので、縁までの距離が、上と下で違います。$\sZ$ も、上の縁と下の縁で、別の値になります。

上のフランジが幅 60 mm・厚さ 10 mm、下のウェブが厚さ 10 mm・高さ 50 mm の T形では、図心は下から 41.4 mm、上から 18.6 mm の位置です（求め方は図心の単元、$\sI$ は 平行軸の定理 の単元の手順）。

$\sZ$ は、上の縁が 19,028 mm³、下の縁が 8,573 mm³ です。$\sI$ は同じで、縁までの距離が 41.4 ÷ 18.6 で約2.2倍違うからです。同じ曲げモーメントがかかると、遠い下の縁の応力は、上の縁の 2.2倍になります。

動かしてみよう

形を選んで、寸法を動かしてみてください。断面積は 1,800 mm² のままです。管の肉厚を薄くしたり、H形を高くしたりすると、縁の応力の棒は、正方形の棒に対してどう変わるでしょうか。長方形の高さを下げて、幅の広い板に寝かせると、棒の高さはどうなるでしょうか。

形の比べ形を選んで、寸法を動かします。断面積（重さ）は、いつも同じです

試してみよう0 / 3

1. 1「長方形」の高さ h を 30 mm に下げて寝かせ（60 × 30 mm）、I と Z が何分の1になるか見る（まだ）
2. 2高さ h を 60 mm に戻し、曲げモーメント M を2倍の 2 kN·m にする（まだ）
3. 3M を 1 kN·m に戻し、「H形」を選ぶ（高さ H = 100 mm のまま）（まだ）

長方形丸棒管H形

M曲げモーメント−kN·m＋

h断面の高さ−mm＋

断面積は 1,800 mm²（鋼なら 1 m あたり約 14 kg）にそろえてあります。高さ h を下げていくと、長方形は寝て、幅の広い板になります。

断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 1{,}800\ \mathrm{mm^2}$

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 55.56\ \mathrm{MPa}$

Z は、正方形の何倍か

$1.41\ \text{倍}$

縁の応力は、正方形の何倍か

$0.707\ \text{倍}$

途中の計算（導出）を見る（長方形）

1. 幅（断面積を 1,800 mm² にそろえる）

   $$b = \htmlClass{q-geometry}{A} / \htmlClass{q-geometry}{h} = 1{,}800 / 60 = 30\ \mathrm{mm}$$

2. 断面係数（長方形）

   $$\htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{b\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{30 \times 60^2}{6} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$$

3. 縁の応力（曲げモーメントを、断面係数で割る）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M}}{\htmlClass{q-material}{Z}} = \dfrac{1{,}000{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{18{,}000\ \mathrm{mm^3}} = 55.56\ \mathrm{MPa}$$

4. 比べる正方形（同じ断面積・一辺 √A）の縁の応力

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}}_{\text{正方形}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M}}{A^{3/2}/6} = \dfrac{1{,}000{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{12{,}730\ \mathrm{mm^3}} = 78.57\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「I が大きいほど、折れにくい」

$\sI$ は、曲がりにくさです。折れにくさは $\sZ$ で決まります。同じ形で大きさだけを変えるなら、$\sI$ が大きいほど $\sZ$ も大きいのですが、形を変えると、2つの比は別々に動きます。

「Z は、材料の強さのことだ」

$\sZ$ は、形だけで決まる量です。材料の強さ（降伏点など）は、別の量です。縁の応力 $\sM/\sZ$ と材料の強さを比べて、はじめて「折れるか」が分かります。同じ $\sZ$ でも、強い鋼なら大丈夫で、弱い材料なら折れることがあります。

「断面積が同じなら、Z も同じ」

形で、何倍も変わります。上の表のとおり、同じ断面積 1,800 mm² で、寝かせた長方形は 9,000、H形は 55,200 です。6倍をこえる幅があります。

この単元で使う前提

• 曲げモーメントがかかる、まっすぐなはり（材料は、応力とひずみが比例する範囲）
• 縁の応力 $\sM/\sZ$ は、断面の一部だけがはり出した形や、荷重がかかる点のごく近くでは、そのまま使えない
• 上下対称の断面なら $y_{\max}$ は高さの半分。非対称な断面は、縁ごとに $\sZ$ を求める
• 長さの単位をそろえる（mm で入れると、$\sZ$ は mm³、応力は N/mm² ＝ MPa で出る）

形ごとの Z の導き方

どの形も、断面二次モーメントの単元の $\sI$ を、中立軸から縁までの距離 $y_{\max}$ でわります。$\sigma = \sM y/\sI$ の導きは、前の単元 曲げ応力の式 にあります。

長方形：$\sI = \sb\sh^3/12$、$y_{\max} = \sh/2$ なので、$\sZ = \dfrac{\sb\sh^3/12}{\sh/2} = \dfrac{\sb\sh^2}{6}$。

丸棒：$\sI = \pi d^4/64$、$y_{\max} = d/2$ なので、$\sZ = \dfrac{\pi d^4/64}{d/2} = \dfrac{\pi d^3}{32}$。

管：$\sI = \pi(\sDout^4 - d^4)/64$、$y_{\max} = \sDout/2$ なので、$\sZ = \dfrac{\pi(\sDout^4 - d^4)}{32\,\sDout}$。

T形：図心を通る水平な軸のまわりの $\sI$ を求めたあと、図心から上の縁までの距離 $y_{\text{上}}$、下の縁までの距離 $y_{\text{下}}$ で、別々にわります。

$$\sZ_{\text{上}} = \dfrac{\sI}{y_{\text{上}}},\qquad \sZ_{\text{下}} = \dfrac{\sI}{y_{\text{下}}}$$