荷重がずれても、いちばん下がるのは真ん中の近く単純支持ばりのたわみ（任意の位置に集中荷重）

前の単元との違い前の単元までは、荷重が真ん中か全体でした。この単元では、1点の荷重を好きな位置に動かします。

同じ辞書でも、置く場所で下がり方が変わる

両端を棚受けで支えた、長さ 1 m の棚板があります。そこに、重い辞書を1冊置きます。

棚板の真ん中に置くのと、棚受けから 10 cm のところに置くのとで、板の下がり方は違うでしょうか。

予想してから読む辞書を棚受けから 10 cm に寄せると、棚板のいちばん下がる量は、真ん中に置いたときの何倍？

Aほとんど変わらない（約 0.9 倍）B約 0.3 倍C約 0.13 倍

違います。同じ辞書でも、端に寄せるだけで、下がりは約 3 分の 1 になります。

荷重が真ん中に来るとは限りません。橋の上のトラックも、桁の途中に据えた機械も、真ん中からずれています。

単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重） では、荷重が真ん中でした。この単元では、荷重を好きな位置に置きます。

左の支点から荷重までの距離を $\sa$、荷重から右の支点までの距離を $\sc$ とします。2つを足すと、長さ $\sL$ です（$\sc = \sL - \sa$）。

支点が支える力は、シーソーの決まりで出る

棒の途中に荷物をぶら下げて、2人で担いだことがあるでしょうか。荷物に近い人が、重く感じます。

なぜそうなるかは、せん断力図と曲げモーメント図 で使った、シーソーの2つの決まりで分かります。

• 決まり1：上向きの力 ＝ 下向きの力
• 決まり2：力 × 距離が、逆向きどうしで同じ

棚板に、重さ 40 N（約 4 kg）の辞書を、左の棚受けから 0.25 m のところに置いたとします。右の棚受けまでは 0.75 m です。

まず、決まり2を使います。右の棚受けを、シーソーの支点と見ます。

左の棚受けが押し上げる力 $\sRA$ は、支点から 1 m 離れています。辞書の重さ 40 N は、支点から 0.75 m です。この2つは、棚板を逆の向きに回そうとして、釣り合っています。

$$\sRA \times 1 = 40 \times 0.75$$

右辺は 30 です。だから、$\sRA$ = 30 N です。

次に、決まり1です。上向きの力の合計は、辞書の重さと同じ 40 N です。右の棚受けは、残りの 40 − 30 = 10 N を受け持ちます。

辞書に近い左の棚受けが、3 倍の力を受け持っています。担いだときに、荷物に近い人が重く感じるのと同じです。

文字で書く

同じことを、文字で書きます。右の支点まわりの決まり2は、こうなります。

$$\sRA \times \sL = \sP \times \sc$$

両辺を $\sL$ で割ります。

$$\sRA = \dfrac{\sP\,\sc}{\sL}$$

決まり1から、右の支点の力は $\sRB = \sP - \sRA$ です。$\sc = \sL - \sa$ を入れると、$\sP$ と $-\sP$ が消えます。

$$\sRB = \sP - \dfrac{\sP\,(\sL - \sa)}{\sL} = \dfrac{\sP\,\sa}{\sL}$$

$\sRA$ には、荷重から遠い側の距離 $\sc$ が入ります。荷重が左に寄るほど $\sc$ が長くなり、左の支点の受け持ちが増えます。

曲げモーメントは、荷重の位置で最大

はりを荷重の位置で切って、左側だけを見ます。左側にある力は、左の支点の力 $\sRA$ だけです。

決まり2から、切り口の曲げモーメントは「力 × 切り口までの距離」です。

$$\sMmax = \sRA \times \sa = \dfrac{\sP\,\sc}{\sL} \times \sa = \dfrac{\sP\,\sa\,\sc}{\sL}$$

辞書の例では、30 N × 250 mm = 7,500 N·mm です。

真ん中に置いたときは、$\sP\,\sL/4$ = 40 × 1,000 / 4 = 10,000 N·mm でした。比べると、0.75 倍です。

この比を、文字でも出します。$\sP\,\sa\,\sc/\sL$ を $\sP\,\sL/4$ で割ると、$\sP$ が消えます。

$$\dfrac{\sP\,\sa\,\sc/\sL}{\sP\,\sL/4} = \dfrac{4\,\sa\,\sc}{\sL^2}$$

この $4\,\sa\,\sc/\sL^2$ を、位置で決まる倍率と呼ぶことにします。真ん中（$\sa = \sc = \sL/2$）で 1、端に寄るほど 0 に近づきます。辞書の例なら 4 × 0.25 × 0.75 = 0.75 です。

たわみの式を、2つのかたまりで読む

荷重の真下のたわみ $\sdeltaA$ は、次の式です（導き方は、いちばん下に畳んであります）。

$$\sdeltaA = \dfrac{\sP\,\sa^2\,\sc^2}{3\,\sE\,\sI\,\sL}$$

この式は、2つのかたまりの掛け算に書き直せます。

$$\sdeltaA = \underbrace{\dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI}}_{\text{真ん中にかけたときのたわみ}} \times \underbrace{\left(\dfrac{4\,\sa\,\sc}{\sL^2}\right)^2}_{\text{位置で決まる倍率の2乗}}$$

1. 真ん中にかけたときのたわみ　単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重） の式そのものです。荷重・長さ・材料の硬さ・断面の形は、全部ここに入っています。
2. 位置で決まる倍率の2乗　曲げモーメントの倍率が、2回かかります。だから、端に寄せると、たわみは曲げモーメントより急に小さくなります。

書き直しが合っているかは、右辺を広げると確かめられます。倍率の2乗は $16\,\sa^2\,\sc^2/\sL^4$ です。これに $\sP\,\sL^3/(48\,\sE\,\sI)$ を掛けると、$16/48 = 1/3$、$\sL^3/\sL^4 = 1/\sL$ で、左辺に戻ります。

数で確かめます。辞書を、棚受けから 10 cm（$\sa/\sL = 0.1$）に置いたときの、辞書の真下のたわみです。

$$\dfrac{\sdeltaA}{\text{真ん中にかけたときのたわみ}} = \left(\dfrac{4\,\sa\,\sc}{\sL^2}\right)^2 = (4 \times 0.1 \times 0.9)^2 = 0.36^2 = 0.1296$$

曲げモーメントは 0.36 倍、辞書の真下のたわみは、その2乗の 0.1296 倍です。

公式はこれ

$\snear$ は、荷重に近い支点までの距離です（$\sa$ と $\sc$ の短い側）。

荷重が真ん中（$\sa = \sc = \sL/2$）なら、どの式も 単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重） の式（$\sP\,\sL^3/(48\,\sE\,\sI)$ など）に戻ります。

最大たわみの式は複雑です。でも、あとで見るとおり、実際には真ん中のたわみで足ります。

荷重を端に寄せると

荷重の位置を、真ん中から端へ寄せていきます。下の図は、真ん中に置いたときを 1 として、3つの量の比を描いたものです。

真ん中の近くでは、どの線も平らです。少しずらしても、ほとんど下がりません。

端の近くでは、どの線も急に下がります。荷重の位置のたわみ（青の破線）は、倍率が2乗で効くので、いちばん急です。

数で並べると、次のとおりです。

読み取れることは3つです。

• 真ん中の近くは、あまり変わらない。0.5 から 0.4 へずらしても、最大たわみは 0.948 倍です。5% しか減りません。
• 端の近くは、急に変わる。0.2 から 0.1 へ寄せると、最大たわみは 0.579 から 0.303 へ、ほぼ半分になります。
• 端に置くと、近い支点がほぼ全部を受け持つ。0.1 の位置なら、近い支点の力は 0.9 $\sP$ です。

いちばん下がる場所は、真ん中の近く

いちばん下がる場所は、荷重の真下ではありません。荷重を端に寄せても、真ん中の近くにとどまります。

荷重がどれほど端に寄っても、いちばん下がる位置は、真ん中から $\sL/\sqrt{3} - \sL/2 \approx 0.077\,\sL$ 以内です。

そして、真ん中のたわみは、最大たわみの 97% 以上あります。

たわみを確かめるときは、いちばん下がる場所を探さなくても、真ん中で測れば足ります。

棚板の辞書に戻ると

最初の問いに答えます。長さ 1 m の棚板で、辞書を棚受けから 10 cm（$\sa/\sL = 0.1$）に置いたときです。

• 棚板のいちばん下がる量は、真ん中に置いたときの 0.303 倍、約 0.3 倍です。
• 逆に言うと、真ん中に置くと、約 3.3 倍下がります。棚受けから 5 cm（0.05）なら、約 6.5 倍の差です。
• そのかわり、近い棚受けは、辞書の重さの 9 割（0.9 $\sP$）を受け持ちます。

動かしてみよう

溝にかけた渡り板を、荷物を載せた台車が渡るところを考えます。台車が進むにつれて、板の下がり方が変わります。

盤の初期値は、荷重を左の支点から長さの1割（$\sa$ = 150 mm、$\sL$ = 1,500 mm）に置いた場面です。荷重の位置 $\sa$ のスライダーを、左端から右端まで動かしてみてください。台車が板を渡るのと同じです。

• 支点の下の上向きの矢印が、支点の力 $\sRA$・$\sRB$ です。長さは力の大きさに比例します。荷重に近い側の矢印が長くなり、真ん中で同じ長さになります。
• 最大曲げモーメントと最大たわみは、荷重が真ん中に来たときに、いちばん大きくなります。
• 点線と白い丸が、いちばん下がる位置 $\sxm$ です。荷重を端に寄せても、真ん中の近くから離れないことを確かめてください。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1荷重の位置 a を、長さの 1/4 の 375 mm にして、支点の力 RA・RB を見る（まだ）
2. 2a を真ん中の 750 mm にする（まだ）
3. 3長さ L を 2,000 mm、a を 500 mm（長さの 1/4）にして、いちばん下がる位置 xm を見る（まだ）

a左の支点から荷重までの距離−mm＋

P荷重−N＋

Lはりの長さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる最大たわみは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

たわみの描き方いまの倍率　×163

倍率を固定実寸

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×163 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{s}\,(\htmlClass{q-geometry}{L}^2 - \htmlClass{q-geometry}{s}^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}$$$$= \dfrac{3{,}000 \times 150 \times (1{,}500^2 - 150^2)^{3/2}}{9\sqrt{3} \times 206{,}000 \times 540{,}000 \times 1{,}500}$$$$= 0.5752\ \mathrm{mm}$$

最大たわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = 0.5752\ \mathrm{mm}$

最大たわみの位置（左の支点から）

$\htmlClass{q-geometry}{x_m} = 638.3\ \mathrm{mm}$

左の支点の反力

$\htmlClass{q-force}{R_A} = 2{,}700\ \mathrm{N}$

右の支点の反力

$\htmlClass{q-force}{R_B} = 300\ \mathrm{N}$

中央のたわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{中央}}} = 0.5613\ \mathrm{mm}$

中央のたわみ ÷ 最大たわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{中央}}/\delta_{\max}} = 0.976\$

最大曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = 405{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$

ほかの値（4 個）

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$

荷重の位置のたわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_a} = 0.2458\ \mathrm{mm}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 22.5\ \mathrm{MPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. 断面二次モーメント（長方形断面）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 60^3}{12} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

2. 荷重から右の支点までの距離

   $$\htmlClass{q-geometry}{c} = \htmlClass{q-geometry}{L} - \htmlClass{q-geometry}{a} = 1{,}500 - 150 = 1{,}350\ \mathrm{mm}$$

3. 左の支点の反力（遠いほど小さく、近いほど大きい）

   $$\htmlClass{q-force}{R_A} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{c}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{3{,}000 \times 1{,}350}{1{,}500} = 2{,}700\ \mathrm{N}$$

4. 右の支点の反力

   $$\htmlClass{q-force}{R_B} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{a}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{3{,}000 \times 150}{1{,}500} = 300\ \mathrm{N}$$

5. 最大曲げモーメント（荷重の位置）

   $$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{a}\,\htmlClass{q-geometry}{c}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{3{,}000 \times 150 \times 1{,}350}{1{,}500} = 405{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

6. 荷重の位置のたわみ

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_a} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{a}^2\,\htmlClass{q-geometry}{c}^2}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}\,\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{3{,}000 \times 150^2 \times 1{,}350^2}{3 \times 206{,}000 \times 540{,}000 \times 1{,}500} = 0.2458\ \mathrm{mm}$$

7. 最大たわみ（荷重に近い支点までの距離 s = 150 mmを使う）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{s}\,(\htmlClass{q-geometry}{L}^2 - \htmlClass{q-geometry}{s}^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}\,\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{3{,}000 \times 150 \times (1{,}500^2 - 150^2)^{3/2}}{9\sqrt{3} \times 206{,}000 \times 540{,}000 \times 1{,}500} = 0.5752\ \mathrm{mm}$$

8. 最大たわみの位置（左の支点から）

   $$\htmlClass{q-geometry}{x_m} = \htmlClass{q-geometry}{L} - \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}^2 - \htmlClass{q-geometry}{s}^2}{3}} = 1{,}500 - \sqrt{\dfrac{1{,}500^2 - 150^2}{3}} = 638.3\ \mathrm{mm}$$

9. 中央のたわみ

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{中央}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{s}\,(3\htmlClass{q-geometry}{L}^2 - 4\htmlClass{q-geometry}{s}^2)}{48\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{3{,}000 \times 150 \times (3 \times 1{,}500^2 - 4 \times 150^2)}{48 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 0.5613\ \mathrm{mm}$$

10. 最大曲げ応力（荷重の位置の上下の面）

    $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{405{,}000}{18{,}000} = 22.5\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「いちばんたわむのは、荷重の真下」

荷重の真下が、いちばん下がる　→　荷重が真ん中のとき以外は、真下ではありません。

荷重が長さの 1/4 の位置（$\sa/\sL = 0.25$）にあるとき、いちばん下がるのは、左の支点から 0.441 $\sL$ の位置です。荷重の真下（0.25 $\sL$）より、真ん中に寄っています。

「荷重から遠い支点には、力がかからない」

遠い支点の力は 0　→　遠い支点も、$\sP\,\sa/\sL$ を受け持ちます。

決まり2で、近い支点をシーソーの支点と見ます。遠い支点の力 × $\sL$ が、荷重 × $\sa$ と釣り合います。$\sa$ が 0 でない限り、遠い支点の力も 0 ではありません。

「端に置けば、ほとんど何もかからない」

端に寄せると、たわみと曲げモーメントは小さくなります。でも、荷重そのものは消えません。

端から 1 割の位置（$\sa/\sL = 0.1$）でも、近い支点は 0.9 $\sP$ を受け持ちます。たわみは約 0.3 倍に減りますが、棚受けにかかる力は、真ん中に置いたときの 0.5 $\sP$ より増えています。

この公式が使える条件

• 荷重が、はりの1点にかかる
• たわみが、はりの長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）
• 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• はりの重さは考えない。はりの太さは、端から端まで同じ
• 支点は、はりを上下に支えるだけ。端は傾いてよく、片方は横にも動ける

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

出発点は、曲がり具合と曲げモーメントの関係 $\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ です（出どころは 曲げ応力の式 と たわみの微分方程式と積分法）。この式を、2回積分します。

支点が支える力は、本文のとおり、決まり1と決まり2から $\sRA = \sP\,\sc/\sL$、$\sRB = \sP\,\sa/\sL$ です。

曲げモーメントは、荷重の位置で折れ曲がった線になります。荷重より左で切ると、左側の力は $\sRA$ だけです。荷重より右で切ったときは、右側を見ると $\sRB$ だけです。

$$\sM = \dfrac{\sP\,\sc\,\sx}{\sL}\ (0 \le \sx \le \sa),\qquad \sM = \dfrac{\sP\,\sa\,(\sL - \sx)}{\sL}\ (\sa \le \sx \le \sL)$$

下向きのたわみを $\sv$ とします。左右の区間を、それぞれ2回積分すると、積分定数が4つ出ます。次の4つの条件で決めます。

• 左の支点（$\sx = 0$）で、たわみが 0
• 右の支点（$\sx = \sL$）で、たわみが 0
• 荷重の位置（$\sx = \sa$）で、左右のたわみが等しい
• 荷重の位置で、左右の傾きも等しい（はりは、荷重の位置で折れない）

結果は、左の区間で次のとおりです。

$$\sv(\sx) = \dfrac{\sP\,\sc\,\sx\,(\sL^2 - \sc^2 - \sx^2)}{6\,\sE\,\sI\,\sL}\quad (0 \le \sx \le \sa)$$

右の区間は、左右を入れ替えた同じ形です。

$\sx = \sa$ を入れます。$\sL^2 - \sc^2 - \sa^2$ は、$\sL = \sa + \sc$ を広げると $2\,\sa\,\sc$ です。

$$\sdeltaA = \dfrac{\sP\,\sc\,\sa \cdot 2\,\sa\,\sc}{6\,\sE\,\sI\,\sL} = \dfrac{\sP\,\sa^2\,\sc^2}{3\,\sE\,\sI\,\sL}$$

いちばん下がる位置は、傾きが 0 になる位置です。$\sa \ge \sc$（荷重が右寄り）のとき、そこは左の長い区間にあります。傾きが 0 になる条件 $\sL^2 - \sc^2 - 3\sx^2 = 0$ から、

$$\sxm = \sqrt{\dfrac{\sL^2 - \sc^2}{3}}$$

です。これを $\sv(\sx)$ に入れると、最大たわみの式が出ます。荷重が左寄りのときは、左右を入れ替えます。

$\sc$ を 0 から $\sL/2$ まで動かすと、$\sxm$ は $\sL/\sqrt{3} \approx 0.577\,\sL$ から $\sL/2$ まで動きます。だから、いちばん下がる位置は、真ん中から 0.077 $\sL$ 以内です。

位置で決まる倍率は、真ん中からのずれ $e = |1 - 2\sa/\sL|$（真ん中で 0、端で 1）を使うと $1 - e^2$ と書けます。$\sa = (1-e)\sL/2$、$\sc = (1+e)\sL/2$ を入れると、$4\,\sa\,\sc/\sL^2 = (1-e)(1+e) = 1 - e^2$ です。$e$ が小さいうちは $e^2$ がとても小さいので、真ん中の近くでは倍率がほとんど 1 のままです。図の線が、真ん中の近くで平らな理由です。