同じ材料でも、離してつなぐと7倍曲がりにくい平行軸の定理

同じ板2枚。貼り合わせると曲がり、離してつなぐと曲がらない

同じ薄い板を、2枚用意します。

1組めは、2枚をぴったり重ねて、貼り合わせます。2組めは、2枚の間にすき間をあけ、木片をはさんでつなぎます。

両端を台に載せて、真ん中に同じおもりを載せます。貼り合わせた板は、大きく曲がります。離してつないだ板は、ほとんど曲がりません。

板も、おもりも、材料の量も同じです。では、離してつなぐと、何倍曲がりにくくなるのでしょうか。

予想してから読む幅 60 mm・厚さ 10 mm の板2枚。ぴったり貼り合わせたときと比べて、20 mm 離してつなぐと、曲がりにくさは何倍？

A変わらないB3倍C7倍D9倍

その答えを出す道具が、平行軸の定理です。

道具は、切り口のシーソー

2枚の板を、断面で見ます。上下が同じ形なので、全体の中立軸は、2枚の真ん中を通ります。

板1枚の $\sI$ は、前の単元 断面二次モーメント の長方形の式 $\sb\,\sh^3/12$ で出せます。ただし、それは板自身の図心を通る軸のまわりの値です。板の図心は、全体の中立軸からずれています。

中立軸からずれた板の $\sI$ を、どう直せばよいか。これが、この単元の問いです。

使う道具は、前の単元の「切り口のシーソー」です。断面を、横に薄い帯に切ります。帯の力は、中立軸からの距離 × 面積に比例しました。

その力が切り口を回す効き目は「力 × 距離」です。距離が2回かかるので、帯1本の効き目は面積 × 距離の2乗。全部の帯で足したものが、$\sI$ でした。

このシーソーの支点は、中立軸です。つまり、図心です。

図心には、もう1つ決まりがありました。図心（断面の中心） の単元で見た、シーソーの釣り合いです。図心から測った「面積 × 距離」は、上と下で同じになります。

この2つの決まりで、ずれた軸の $\sI$ を出します。

軸をずらすと、いくつ増える？

まず、いちばん小さな例で、数を見ます。

面積 1 の小さなかけらが、2つあります。図心を通る軸の上と下に、1 ずつ離れています。シーソーで言えば、上と下に同じおもり。図心はちょうど真ん中です。

$\sI$ は、面積 × 距離の2乗を足したものです。距離はどちらも 1 なので、

$$\sI = 1 \times 1^2 + 1 \times 1^2 = 2$$

では、軸をそのまま下へ 1 だけずらします。かけらは動きません。下のかけらは軸に重なって、距離は 0。上のかけらは遠ざかって、距離は 2 です。

$$\sI = 1 \times 0^2 + 1 \times 2^2 = 4$$

近づいたかけらは、1 から 0 へ。1 だけ減りました。遠ざかったかけらは、1 から 4 へ。3 も増えました。2乗は、遠いほどぐんと大きくなります。だから、増える分が勝ちます。差し引きで、2 から 4 へ、2 だけ増えました。

軸を 2 だけずらすと、距離は 1 と 3 です。$\sI = 1 \times 1^2 + 1 \times 3^2 = 10$。2 から 10 へ、8 だけ増えました。

増えた分を並べます。

前にかかっている 2 は、かけら2つの、全体の面積です。増えた分は「全体の面積 × ずれの2乗」になっています。

どんな形の断面でも、いつもこうなるのでしょうか。

2乗を広げる

どんな形でも言えるかを、式で確かめます。

断面を横に薄い帯に切って、1本の帯を見ます。帯の面積を $\Delta A$、図心を通る軸から帯までの距離を $y$ とします。$y$ は、図心より上をプラス、下をマイナスで数えます。

軸を、ずれ $\sdOff$ だけ平行に下へずらします。帯から新しい軸までの距離は、$y + d$ です。図心より下の帯でも、この形のまま使えます。$y$ がマイナスなので、その分、近くなります。

帯1本の効き目は、帯の面積 × 距離の2乗でした。

$$\Delta A \times (y + d)^2$$

この2乗を広げます。1辺が $y + d$ の正方形を思い浮かべてください。辺を $y$ と $d$ に分けると、正方形は4つに分かれます。$y^2$ の正方形が1つ、$d^2$ の正方形が1つ、そして $y \times d$ の長方形が2つです。

数で確かめます。$y$ が 3、$d$ が 2 なら、$(3 + 2)^2 = 25$。4つに分けると、$9 + 4 + 6 + 6 = 25$。同じです。

$$(y + d)^2 = y^2 + 2\,y\,d + d^2$$

これに帯の面積をかけて、全部の帯で足します（$\sum$ は「全部足す」の記号です）。

$$\sI = \underbrace{\sum y^2\,\Delta A}_{①} + \underbrace{\sum 2\,d\,y\,\Delta A}_{②} + \underbrace{\sum d^2\,\Delta A}_{③}$$

①　$y$ は、図心を通る軸から測った距離でした。だから①は、図心を通る軸のまわりの $\sI$ そのものです。これを $I_0$ と呼びます。

③　ずれ $\sdOff$ は、どの帯でも同じです。だから $d^2$ を前に出せます。残るのは、帯の面積を全部足したもの。断面積 $\sA$ です。③は $\sA\,d^2$ になります。

まん中の項は、シーソーで消える

残るのは、まん中の②です。2 とずれ $\sdOff$ も、どの帯でも同じなので、前に出します。

$$② = 2\,d \times \sum y\,\Delta A$$

残るのは、$y$ × 面積を全部足したもの。ここで、シーソーに戻ります。

$y$ は、図心から測った距離です。上はプラス、下はマイナスでした。そして、図心のまわりでは、面積 × 距離が上と下で同じです。プラスとマイナスで大きさが同じなので、全部足すと 0 になります。

$$\sum y\,\Delta A = 0 \quad\Rightarrow\quad ② = 2\,d \times 0 = 0$$

まん中の項は、消えてしまいます。残ったのは、2つの項です。

$$\sI = I_0 + \sA\,d^2$$

この式で、さっきのかけら2つを計算しなおします。図心のまわりの $I_0$ は 2、全体の面積 $\sA$ も 2 です。

$$d = 1:\ \ \sI = 2 + 2 \times 1^2 = 4 \qquad d = 2:\ \ \sI = 2 + 2 \times 2^2 = 10$$

どちらも、さっき1つずつ数えた答えと同じです。

この式を、平行軸の定理と言います。図心を通る軸と、それに平行な軸の $\sI$ を結ぶ式だからです。

式を、かたまりに分けて読む

$$\sI = \underbrace{I_0}_{\text{自分の曲がりにくさ}} + \underbrace{\sA}_{\text{材料の量}} \times \underbrace{d^2}_{\text{ずれの2乗}}$$

1. 自分の曲がりにくさ $I_0$　その部分が、自分の図心のまわりで持っている $\sI$ です。板なら $\sb\,\sh^3/12$。薄い板では、とても小さくなります。
2. 材料の量 $\sA$　面積が2倍なら、ずれの項も2倍です。
3. ずれの2乗 $d^2$　ずれが2倍なら、この項は4倍。3倍なら9倍。離して置くときの主役です。

$\sA\,d^2$ は、面積を図心の1点に集めたときの効き目です。前の単元で、帯を1点に集めると、遠いほうの材料を取りこぼしました。$I_0$ は、ちょうどその取りこぼしの分です。

まん中の項が消えたのは、シーソーが図心で釣り合うからでした。だから、$I_0$ には、必ず図心を通る軸のまわりの値を使います。

板を2枚、離してみる

冒頭の2枚の板に戻ります。板は、幅 60 mm、厚さ 10 mm。これが2枚です。上下が同じ形なので、全体の図心は、2枚の真ん中です。

ずれ $\sdOff$ は、板の図心から全体の図心までの距離です。板の厚さの半分と、すき間の半分を足した長さになります。

$$\sdOff = \dfrac{\stPlate + \sgapG}{2}$$

使う式は、平行軸の定理です。板2枚ぶんを足します。

$$\sI = \underbrace{I_0}_{\text{板2枚}} + \underbrace{\sA}_{\text{板2枚}} \times d^2$$

まず、2つの数を枠に入れます。$I_0$ は、板1枚が $60 \times 10^3/12 = 5{,}000$、2枚で 10,000 mm⁴。面積は、板1枚が $60 \times 10 = 600$、2枚で 1,200 mm² です。

ぴったり貼り合わせたとき（すき間 0）。ずれは、厚さの半分の 5 mm です。

$$\sI = 10{,}000 + 1{,}200 \times 5^2 = 10{,}000 + 30{,}000 = 40{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

この 40,000 が正しいかを、厚さ 20 mm の1枚の板で確かめます。前の単元の長方形の式で、$60 \times 20^3/12 = 40{,}000$。同じです。ぴったり貼り合わせれば、1枚の厚い板と同じ、ということです。

すき間を 20 mm あけたとき。ずれは 5 + 10 = 15 mm です。$I_0$ は 10,000 のまま。板そのものは変わらないからです。

$$\sI = 10{,}000 + 1{,}200 \times 15^2 = 10{,}000 + 270{,}000 = 280{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

貼り合わせたときと比べます。

$$\dfrac{280{,}000}{40{,}000} = 7$$

ずれが 5 mm から 15 mm へ、3倍になりました。ずれの項は、その2乗で 9倍（30,000 → 270,000）。板自身の 10,000 は動かないので、全体では 7倍です。離してつないだ板は、貼り合わせた板の7倍、曲がりにくくなります。これが、冒頭の問いの答えです。

280,000 のうち、板そのものの分は 10,000 だけです。4% にも届きません。残りの 96% は、ずれの項です。

すき間を変えて並べると、こうなります。「倍率」は、貼り合わせたとき（すき間 0）を 1 とした値です。

すき間を広げても、$I_0$ の 10,000 は動きません。伸びていくのは、ずれの項だけです。

重ねただけでは、効かない

ただし、この7倍には条件があります。2枚の板が、間の木片と、しっかりつながっていることです。

貼り合わせずに、重ねただけなら、どうなるでしょうか。曲げると、板どうしがすべります。端が階段のようにずれて、1枚ずつ別々に曲がります。

別々に曲がるなら、軸は、それぞれの板の図心を通ります。ずれは 0 です。効くのは $I_0$ の 10,000 mm⁴ だけ。貼り合わせた 40,000 の、4分の1しかありません。

ずれの項を効かせるには、板どうしが、すべらないようにします。接着、溶接、ボルト。これをずれ止めと言います。

実物でも、この形が使われています。箱の形をした橋げた（箱桁）。3枚の板を溶接した H形鋼。2枚の薄い板で軽い芯をはさんだ、サンドイッチパネル。どれも、板を中立軸から離して、ずれ止めでつないでいます。

T形の I も、同じ手順で

平行軸の定理は、上下が非対称な形でも使えます。上の板（フランジ）が幅 80 mm・厚さ 10 mm、立てた板（ウェブ）が厚さ 10 mm・高さ 60 mm の T形で、やってみます。

図心は、図心（断面の中心） の単元と同じ手順で求めます。上の縁から測ると、フランジの位置は 5 mm、ウェブの位置は 10 + 30 = 40 mm です。

$$\dfrac{800 \times 5 + 600 \times 40}{1{,}400} = 20\ \mathrm{mm}$$

図心は、上の縁から 20 mm。フランジの図心は、そこから 15 mm 上。ウェブの図心は、20 mm 下です。

ここでも、シーソーを見ておきます。フランジは、面積 × 距離が $800 \times 15 = 12{,}000$。ウェブは $600 \times 20 = 12{,}000$。上と下で同じです。図心で、ちゃんと釣り合っています。だから、まん中の項は消えて、部品ごとに足すだけで済みます。

使う式は、部品ごとに $I_0$ とずれの項を足す形です。

$$\sI = \bigl(I_0 + \sA\,d^2\bigr)_{\text{フランジ}} + \bigl(I_0 + \sA\,d^2\bigr)_{\text{ウェブ}}$$

4つを足して、$\sI = 186{,}667 + 420{,}000 = 606{,}667\ \mathrm{mm^4}$ です。

ここで、よくやってしまうのが、$I_0$ だけを足すことです。6,667 + 180,000 = 186,667 mm⁴。正しい 606,667 の3割ほどしかありません。部品ごとに、ずれの項を必ず足します。

形がどんなに複雑でも、長方形に分ければ、同じ手順で出せます。

どの寸法がいちばん効く？

冒頭の板2枚（幅 60 mm・厚さ 10 mm・すき間 20 mm。$\sI$ = 280,000 mm⁴）に戻って、寸法を 10% ずつ増やします。

いちばん効くのは、板の厚さです。ずれ $\sdOff$ は、すき間の半分だけでなく、板の厚さの半分も含みます。厚くすると、板が外へ広がるうえに、材料も増えるからです。

すき間を 10% 広げても、ずれは 6.7% しか増えません。それでも、ずれの項は2乗で効くので、$\sI$ は 13% 増えます。

動かしてみよう

板の幅・厚さ・すき間を動かして、$\sI$ の内訳を見てください。すき間を広げると、緑の $I_0$（板自身）は動かず、朱色の $\sA\,d^2$（ずれの項）だけが伸びていきます。すき間を 0 に戻すと、どうなるでしょうか。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1すき間 g を 0 にして、2枚をぴったり貼り合わせる（まだ）
2. 2すき間 g を2倍の 40 mm に広げる（まだ）
3. 3すき間を 20 mm に戻し、板の幅 b を2倍の 120 mm にする（まだ）

g板の間隔（すき間）−mm＋

b断面の幅−mm＋

t板の厚さ−mm＋

いまの図を残して比べる断面二次モーメントは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-material}{\eta_g} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{I}}{\htmlClass{q-material}{I_{g=0}}}$$$$= \dfrac{280{,}000}{40{,}000}$$$$= 7\ \text{倍}$$

断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 1{,}200\ \mathrm{mm^2}$

軸のずれ（組み立てた断面の図心から、板の図心までの距離）

$\htmlClass{q-geometry}{d} = 15\ \mathrm{mm}$

図心まわりの I（I₀）の合計

$\htmlClass{q-material}{I_0} = 10{,}000\ \mathrm{mm^4}$

A d² の合計（ずれの項）

$\htmlClass{q-material}{A d^2} = 270{,}000\ \mathrm{mm^4}$

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 280{,}000\ \mathrm{mm^4}$

間隔 0（くっつけた）ときの I

$\htmlClass{q-material}{I_{g=0}} = 40{,}000\ \mathrm{mm^4}$

I の比（間隔あり ÷ 間隔 0）

$\htmlClass{q-material}{\eta_g} = 7\$

途中の計算（導出）を見る

1. 軸のずれ（組立の中立軸から、板の図心まで。板の厚さの半分と、すき間の半分を足す）

   $$\htmlClass{q-geometry}{d} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{g} + \htmlClass{q-geometry}{t}}{2} = \dfrac{20 + 10}{2} = 15\ \mathrm{mm}$$

2. 断面積（板2枚）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A} = 2\,\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{t} = 2 \times 60 \times 10 = 1{,}200\ \mathrm{mm^2}$$

3. 板が自分の図心まわりで持つ I（板2枚ぶん）

   $$\htmlClass{q-material}{I_0} = 2 \times \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{t}^3}{12} = 2 \times \dfrac{60 \times 10^3}{12} = 10{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

4. 軸がずれた分（板の A × d² を、2枚ぶん足す）

   $$\htmlClass{q-material}{A d^2} = 2\,\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{t}\,\htmlClass{q-geometry}{d}^2 = 2 \times 60 \times 10 \times 15^2 = 270{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

5. 組立断面の I（平行軸の定理）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \htmlClass{q-material}{I_0} + \htmlClass{q-material}{A d^2} = 10{,}000 + 270{,}000 = 280{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

6. 間隔 0（2枚をぴったり貼り合わせた、厚さ 2t の1枚板と同じ）の I

   $$\htmlClass{q-material}{I_{g=0}} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,(2\htmlClass{q-geometry}{t})^3}{12} = \dfrac{60 \times (2 \times 10)^3}{12} = 40{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

7. I の比（すき間をあけてつなぐと、貼り合わせたときの何倍になるか）

   $$\htmlClass{q-material}{\eta_g} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{I}}{\htmlClass{q-material}{I_{g=0}}} = \dfrac{280{,}000}{40{,}000} = 7\ \text{倍}$$

よくある勘違い

「軸が図心から離れるほど、I は小さくなる」

逆です。ずれの項 $\sA\,d^2$ は2乗なので、マイナスになりません。軸が図心から離れると、必ず増えます。だから、図心を通る軸の $I_0$ が、平行な軸の中でいちばん小さくなります。

「長方形の I は、どの軸でも $\sb\,\sh^3/12$ で出せる」

$\sb\,\sh^3/12$ は、図心を通る軸のまわりの値です。軸がずれたら、ずれの項を足します。

たとえば、幅 30 mm、高さ 60 mm の長方形。図心のまわりは 540,000 mm⁴ です。軸を下の縁まで、30 mm ずらします。

$$\sI = 540{,}000 + 1{,}800 \times 30^2 = 540{,}000 + 1{,}620{,}000 = 2{,}160{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

2,160,000 mm⁴。図心のまわりの4倍です。下の縁のまわりの式 $\sb\,\sh^3/3$ と、同じ値になります。

「重ねれば、貼り合わせたのと同じ」

重ねただけでは、板がすべって、別々に曲がります。$\sI$ は、板自身の $I_0$ の和にとどまります。板2枚の例では 10,000 mm⁴ で、貼り合わせた 40,000 の4分の1。すき間 20 mm でつないだときのずれの項 270,000 は、$I_0$ の和の 27倍です。

この単元で使う前提

• 2つの軸は平行。そして一方は、断面全体の図心を通る軸
• 組み立てた断面は、ずれ止めで一体になっている（板どうしがすべらない）
• 板はすべて、同じ材料（縦弾性係数が同じ）
• 長さの単位をそろえる（mm で入れると、$\sI$ は mm⁴ で出る）

図心を通らない2本の軸のあいだは、直接移せません。いったん、図心のまわりの値に戻してから移します。

式の導き方（積分で書くと）

本文の「全部足す」$\sum$ を、帯を限りなく薄くした積分で書きます。

図心を通る軸から帯までの距離を $y$、帯の面積を $\mathrm{d}A$ とします。図心のまわりの $I_0 = \int y^2\,\mathrm{d}A$ です。

軸を $\sdOff$ だけ平行にずらすと、同じ帯までの距離は $y + d$ です。

$$\sI = \int (y + d)^2\,\mathrm{d}A = \int y^2\,\mathrm{d}A + 2\,d\int y\,\mathrm{d}A + d^2\int \mathrm{d}A$$

1つ目は $I_0$、3つ目は $d^2 \sA$ です。

2つ目の $\int y\,\mathrm{d}A$ は、図心の定義そのものです。図心は、「図心からの距離 × 面積を足すと 0 になる点」でした（図心の単元のシーソーの決まり）。よって2つ目は 0 で、

$$\sI = I_0 + \sA\,d^2$$

組み立てた断面：板が何枚あっても、それぞれの板に $I_0 + \sA\,d^2$（$\sdOff$ は、全体の図心から、その板の図心まで）を当てて、全部足します。