同じ 10 cm の壁で、熱の通りが 42倍ちがう熱伝導（断熱材と壁）

冬の朝、壁の中で何が起きている？

冬の朝、暖房をつけた部屋は 20℃、外は 0℃ です。部屋の熱は、壁を通って、外へ少しずつ流れ出ています。

家の壁の中には、黄色や白の、綿のような材料が詰めてあります。グラスウールという断熱材です。ガラスを細い繊維にして、綿のようにまとめたものです。

この断熱材は、どのくらい熱を通しにくいのでしょうか。鉄筋コンクリートの壁と、同じ厚さで比べてみます。

予想してから読む厚さ 100 mm の壁で、内と外の温度差が同じとき、コンクリートはグラスウールの何倍の熱を通す？

A約 4倍B約 40倍C約 400倍

公式はこれ

温度の差があると、熱は温度の高いほうから低いほうへ、物の中を伝わって流れます。これを熱伝導といいます。1枚の壁を毎秒通り抜ける熱 $\sndPhi$（単位は W ＝ J/s）は、

$$\sndPhi = \dfrac{\sndLam\,\sndA\,\sndDT}{\sndL}$$

数を入れると、$0.038 \times 1 \times 20 \div 0.1 = 7.6\ \mathrm{W}$ です。1 m² の壁から、毎秒 7.6 J の熱が外へ流れ出ています。

材料だけをコンクリート（$\sndLam = 1.6$）に替えると、$1.6 \times 1 \times 20 \div 0.1 = 320\ \mathrm{W}$。同じ壁の形で 42倍です。

熱伝導率の値は、建築研究所が住宅の省エネルギー基準の計算のために示している表から取りました（グラスウールは「高性能グラスウール 16K 相当」。表には、密度ごとに 0.033〜0.052 が並びます）。

落差と、流れにくさで読む

カルノーサイクルと第二法則（効率の上限） の単元で、熱の流れを、高いところから低いところへ落ちる水にたとえました。この単元でも、同じたとえで読みます。

壁の流れにくさを熱抵抗 $\sndR$ といいます。公式を、この形に書き直します。

$$\sndPhi = \dfrac{\sndDT}{\sndR}, \qquad \sndR = \dfrac{\sndL}{\sndLam\,\sndA}$$

グラスウール 100 mm・1 m² の壁なら、$\sndR = 0.1 \div (0.038 \times 1) = 2.63\ \mathrm{K/W}$。1 W の熱を流すのに、2.63 K の温度差が要る、という意味です。

この形は、電気回路の オームの法則とキルヒホッフの法則準備中（電流 ＝ 電圧 ÷ 抵抗）と同じです。温度差が電圧、熱の流れが電流にあたります。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\sndPhi = \underbrace{\sndDT}_{\text{落差}} \times \underbrace{\sndLam}_{\text{材料の通しやすさ}} \times \underbrace{\dfrac{\sndA}{\sndL}}_{\text{壁の形}}$$

1. 落差 $\sndDT$　外が −20℃ になって温度差が 2倍の 40 K になると、熱の流れも 2倍です。寒い地方ほど、暖房がたくさん要ります。
2. 材料の通しやすさ $\sndLam$　材料で決まる数です。この単元の3つの材料では、42倍もの開きがあります。
3. 壁の形 $\sndA/\sndL$　面積が広いほど、熱の通り道が多くなります。厚いほど、通り道が長くなります。だから、面積に比例し、厚さに反比例します。

グラスウールは、なぜ熱を通しにくい？

グラスウールの材料のガラスは、熱伝導率 1.0（同じ表の値）で、コンクリートとあまり変わりません。熱を通しにくいのは、ガラスではなく、繊維のすき間に閉じこめた空気です。

動かない空気は、熱をとても通しにくい物です。でも、空気は温まると動き出して、熱を運んでしまいます。細い繊維が、空気を小さな部屋に分けて、動けなくしています。

どの数字がいちばん効く？

初期値（グラスウール 100 mm・1 m²・20℃ → 0℃、7.6 W）から、1つずつ 10% 変えたときの熱の流れです。

厚さだけは割り算で効くので、10% 厚くしても、10% までは減りません。それより、材料の選び方が効きます。材料を替えれば、10% どころか 42倍の差になります。

壁は、層を重ねて作る

鉄筋コンクリートの建物では、コンクリートの壁に、断熱材を重ねて張ります。熱は、2つの層を順に通り抜けます。

層を重ねると、熱抵抗は足し算になります。電気回路で、抵抗を直列につなぐのと同じです。

$$\sndR = \dfrac{\sndL}{\sndLam\,\sndA} + \dfrac{\sndLc}{\lambda_{\text{コン}}\,\sndA}$$

グラスウール 100 mm に、コンクリート 150 mm を重ねると、$\sndR = 2.63 + 0.094 = 2.73\ \mathrm{K/W}$。熱の流れは 7.34 W です。コンクリートを足しても、熱の流れはほとんど減りません。

温度の下がり方も、熱抵抗の比で分かれます。20 K の落差のうち、19.3 K がグラスウールの中で下がり、コンクリートの中で下がるのは 0.69 K だけです。2つの層の境目は、0.69℃ です。

冬の壁に戻る

同じ 7.6 W に抑えるのに、コンクリートだけでは、どれだけの厚さが要るでしょうか。熱抵抗を同じにすればよいので、厚さは熱伝導率の比だけ増えます。

$$L_{\text{コン}} = 100\ \mathrm{mm} \times \dfrac{1.6}{0.038} = 4{,}210\ \mathrm{mm}$$

約 4.2 m です。コンクリートは建物の形を支え、断熱材は熱を止めます。だから、役目の違う2つを重ねます。

動かしてみよう

材料のボタンで、グラスウール・木材・コンクリートを選んでください。図の左の、壁の中の温度の線は同じでも、上の熱の矢印の太さと、下の熱の流れ Φ の数字が大きく変わります（太さは目安です）。右の棒は、同じ厚さ・同じ温度差のときの3つの材料の流れです。

次に、厚さ $\sndL$ のスライダーを動かしてください。厚くすると、熱の流れが減ります。「下地」でコンクリート 150 mm を足すと、温度の線が2本の直線に折れます。

「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの熱の流れを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1グラスウールのまま、厚さ L を 2倍の 200 mm にする。熱の流れの数字と、壁の中の温度の線の傾きを見る（まだ）
2. 2厚さ 100 mm のまま、材料をコンクリートにする。熱の流れと、右の棒の長さを比べる（まだ）
3. 3コンクリートのまま、厚さ L を 4,200 mm にして、熱の流れをグラスウール 100 mm の 7.6 W に近づける（まだ）

λ熱伝導率（材料を選ぶ）

グラスウール（0.038）木材（0.12）コンクリート（1.6）

L壁（材料の層）の厚さ−mm＋

下地コンクリートの下地

なしコンクリート 150 mm

A壁の面積−m²＋

t内室内側の表面の温度−℃＋

t外外側の表面の温度−℃＋

いまの図を残して比べる壁を通る熱の流れ（毎秒の熱）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-heat}{\Phi} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{\Delta T}}{\htmlClass{q-heat}{R}}$$$$= \dfrac{20\ \mathrm{K}}{2.63\ \mathrm{K/W}}$$$$= 7.6\ \mathrm{W}$$

壁を通る熱の流れ（毎秒の熱）

$\htmlClass{q-heat}{\Phi} = 7.6\ \mathrm{W}$

壁の熱抵抗

$\htmlClass{q-heat}{R} = 2.63\ \mathrm{K/W}$

内と外の温度差

$\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = 20\ \mathrm{K}$

同じ厚さのグラスウールの何倍流れるか

$\htmlClass{q-geometry}{\Phi/\Phi_{\text{GW}}} = 1\$

途中の計算（導出）を見る

1. 壁の熱抵抗（厚いほど、熱伝導率が小さいほど大きい）

   $$\htmlClass{q-heat}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-material}{\lambda}\,\htmlClass{q-geometry}{A}} = \dfrac{0.1\ \mathrm{m}}{0.038 \times 1\ \mathrm{m^2}} = 2.63\ \mathrm{K/W}$$

2. 内と外の温度差

   $$\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = \htmlClass{q-heat}{t_{\text{内}}} - \htmlClass{q-heat}{t_{\text{外}}} = 20 - (0) = 20\ \mathrm{K}$$

3. 壁を通る熱の流れ（落差 ÷ 流れにくさ）

   $$\htmlClass{q-heat}{\Phi} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{\Delta T}}{\htmlClass{q-heat}{R}} = \dfrac{20\ \mathrm{K}}{2.63\ \mathrm{K/W}} = 7.6\ \mathrm{W}$$

4. 材料の層と下地の境目の温度（材料の層で下がった分を引く）

   $$\htmlClass{q-heat}{t_{\text{境}}} = \htmlClass{q-heat}{t_{\text{内}}} - \htmlClass{q-heat}{\Phi}\,\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-material}{\lambda}\,\htmlClass{q-geometry}{A}} = 20 - 7.6 \times 2.63 = 0\,{}^{\circ}\mathrm{C}\ (\text{下地なし：外側の表面と同じ})$$

5. 同じ厚さのグラスウールと比べる

   $$\dfrac{\htmlClass{q-heat}{\Phi}}{\Phi_{\text{GW}}} = \dfrac{R_{\text{GW}}}{\htmlClass{q-heat}{R}} = \dfrac{2.63}{2.63} = 1\ \text{倍}$$

よくある勘違い

「断熱材を入れれば、熱は流れなくなる」

断熱材は、熱の流れを小さくするだけです。0 にはなりません。グラスウール 100 mm の壁でも、1 m² で毎秒 7.6 J の熱が流れ出ます。厚さを 2倍にしても半分の 3.8 W で、0 にはなりません。

「さわって冷たい物は、温度が低い」

冬の公園で、鉄の手すりと木のベンチにさわると、鉄のほうが冷たく感じます。でも、一晩同じ所にあった2つは、ほぼ同じ温度です。

冷たく感じるかどうかは、手から熱がどれだけ速く流れ出るかで決まります。鉄の熱伝導率は 55 で、木材の 0.12 の 450倍以上です（どちらも同じ表の値）。手の熱が、鉄へどんどん流れ出るので、冷たく感じます。

この公式が使える条件

• 温度が時間で変わらない（同じ温度差が続く）。暖房をつけた直後のように、壁が温まっていく途中には使えない
• 熱は壁の厚さの向きだけに流れる（壁の面積が厚さよりずっと広い。柱や窓のまわりの、熱の通り道が曲がる所は別に考える）
• 熱伝導率 $\sndLam$ は温度によらない一定の値とする
• 温度は、壁の表面の温度。部屋の空気と壁の表面の間にも、熱の流れにくさがある。省エネルギー基準の表では、外壁の室内側で 0.11 m²·K/W、外気側で 0.04 m²·K/W。これを足すと、空気の温度差 20 K で、グラスウールの壁は 7.19 W、コンクリートの壁は 94.1 W。コンクリートの壁では、表面の流れにくさのほうが大きくなる（表面と空気の間の熱の伝わり方は、熱抵抗と放熱（対流） の単元で扱う）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

薄い1枚で考える：壁を、厚さ $dx$ の薄い板に切ります。1枚の板の両面の温度差を $dT$ とすると、板を通る熱の流れは、温度差に比例し、板の厚さに反比例します（実験で確かめられた決まりで、フーリエの法則といいます）。

$$\sndPhi = -\sndLam\,\sndA\,\dfrac{dT}{dx}$$

マイナスは、温度が下がる向き（$dT/dx$ が負）に熱が流れる、という意味です。

流れはどの板でも同じ：温度が時間で変わらないなら、どの板にも熱がたまりません。家計簿で、入ってきた分 ＝ 出ていった分です。だから $\sndPhi$ はどの板でも同じ値で、$dT/dx$ も一定になります。壁の中の温度は、直線で下がります。

足し合わせる：両辺に $dx$ をかけて、壁の内側（$x = 0$、温度 $\sndTin$）から外側（$x = \sndL$、温度 $\sndTout$）まで足し合わせると、

$$\sndPhi\,\sndL = \sndLam\,\sndA\,(\sndTin - \sndTout) \qquad\Longrightarrow\qquad \sndPhi = \dfrac{\sndLam\,\sndA\,\sndDT}{\sndL}$$

層を重ねたとき：2つの層を通る熱の流れは同じ $\sndPhi$ です。1つ目の層で $\sndPhi\,R_1$、2つ目の層で $\sndPhi\,R_2$ だけ温度が下がり、合わせて $\sndDT$ になります。

$$\sndDT = \sndPhi\,R_1 + \sndPhi\,R_2 = \sndPhi\,(R_1 + R_2)$$

だから、熱抵抗は足し算になります。