お湯 1 L を沸かす熱で、車を 34 m 持ち上げられる熱と仕事（第一法則）

お湯を沸かすのに、エネルギーはどれくらい要る？

電気ケトルに水を 1 L 入れて、スイッチを入れます。数分で、お湯が沸きます。

ケトルの底には、電気を通すと熱くなる部品があります。1200 W のケトルなら、1 秒ごとに 1200 J のエネルギーを水に入れます。

この 1 L のお湯を沸かすのに使ったエネルギーで、ほかに何ができるでしょうか。たとえば、物を真上に持ち上げるとします。

予想してから読む20℃ の水 1 L を 100℃ にする熱と同じエネルギーで、1 t の車は 34 m 上がります。60 kg の人なら、何 m まで上がる？

A57 mB569 mC5.7 km

公式はこれ

水の温度を上げる熱 $\sdiQ$ は、水の質量と、上げる温度の差に比例します。

$$\sdiQ = \sdiMw\,\sdiC\,(\sdiTTwoc - \sdiTOnec)$$

数を入れると、$1 \times 4186 \times 80 = 334{,}880\ \mathrm{J}$、約 335 kJ です。

1 W は、1 秒に 1 J です。熱が外へ逃げなければ、沸くまでの時間は

$$\sdiTime = \dfrac{\sdiQ}{\sdiP} = \dfrac{334{,}880\ \mathrm{J}}{1200\ \mathrm{W}} = 279\ \mathrm{s}$$

4分39秒です。熱を J で数えると、電気の W と、そのまま割り算ができます。

熱と仕事は、同じもの

物を持ち上げる仕事は、重さ × 高さです。1 t の車の重さは $1000 \times 9.81 = 9{,}810\ \mathrm{N}$。335 kJ の仕事なら、

$$\sdiH = \dfrac{\sdiQ}{\sdiM\,\sdiG} = \dfrac{334{,}880\ \mathrm{J}}{1000\ \mathrm{kg} \times 9.81\ \mathrm{m/s^2}} = 34\ \mathrm{m}$$

1 L のお湯を沸かす熱で、車を 34 m 持ち上げられます。

熱と仕事が同じエネルギーだと確かめたのは、イギリスのジュールです。1840年代、おもりが落ちる仕事で、水の入った容器の中の羽根車を回しました。水がかき混ぜられて温度が上がり、落ちた仕事と、上がった温度の関係を測りました。

エネルギーの単位 J は、ジュールの名前です。水 1 g を 1℃ 上げる熱（1 カロリー）は、約 4.19 J の仕事と同じです。

向きを逆にしても、同じ勘定です。1 t の車を 10 m の高さから落とすと、落ちる間に 98 kJ の仕事をします。それを全部、1 L の水をかき混ぜるのに使えたら、水の温度は 23 K 上がります。

家計簿で読む（第一法則）

エネルギーの出入りを、お金の出入り帳（家計簿）にたとえます。お金は、勝手に消えたり生まれたりしません。入ってきたお金は、ためるか、払うかのどちらかです。

物の中にためたエネルギーを、内部エネルギー $\sntU$ といいます。物をつくる粒の動きのエネルギーで、温度が高いほど大きくなります。

気体や水に熱 $\sntQ$ を入れると、その熱は、内部エネルギーの増え $\sntDU$ と、外にした仕事 $\sntW$ に分かれます。

$$\underbrace{\sntQ}_{\text{入れた熱}} = \underbrace{\sntDU}_{\text{中にためた分}} + \underbrace{\sntW}_{\text{外にした仕事}}$$

これを熱力学の第一法則といいます。外にした仕事とは、ふくらんで、まわりの空気やピストンを押しのけることです。

ケトルの水は、20℃ から 100℃ にしても、約 4% ふくらむだけです。大気圧 101 kPa を押しのける仕事は 4 J ほどで、入れた熱 335 kJ の約 8万分の1 です。だから、水に入れた熱は、ほぼ全部が内部エネルギーにたまり、温度を上げます。

気体は違います。温めると、よくふくらみます。ペットボトルの口に風船をかぶせて、お湯につけると、風船がふくらみます。

気体を温めると、入れた熱の一部が、まわりを押しのける仕事として外へ出ていきます。何割が仕事になるかは、温め方で変わります。くわしくは、次の章の 等容変化と等圧変化（比熱 cv と cp） の単元で数えます。

家計簿は、ケトル全体にも使えます。入ってくるのは電気のエネルギーです。それが、水にためる分と、ケトルの外へ逃げる熱に分かれます。逃げる熱があると、同じ水を沸かすのに、電気が多く要ります。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\sdiQ = \underbrace{\sdiMw}_{\text{水の量}} \times \underbrace{\sdiC}_{\text{温まりにくさ}} \times \underbrace{(\sdiTTwoc - \sdiTOnec)}_{\text{上げる温度の差}}$$

1. 水の量 $\sdiMw$　2倍の水には、2倍の熱が要ります。温度計の数字が同じでも、たまっている内部エネルギーは量に比例します。
2. 温まりにくさ $\sdiC$　1 kg を 1 K 上げる熱で、比熱といいます。水は 4,186 J/(kg·K)。鉄は約 450 J/(kg·K) で、水の約 9分の1 です。同じ熱を入れると、鉄 1 kg は水 1 kg の約 9倍、温度が上がります。
3. 上げる温度の差 $\sdiTTwoc - \sdiTOnec$　差だけが効くので、℃ のままで計算できます（温度の差は、℃ でも K でも同じ数です）。

どの数字がいちばん効く？

この単元のケトル（1 L・20℃・1200 W・逃げる熱なし）から、1つずつ変えたときの、沸くまでの時間です。

水の量と電力は、そのまま比で効きます。初めの水温は、上げる温度の差 80 K のうち 2 K しか変えないので、あまり効きません。逃げる熱は、10% でも時間が 11% 延びます。逃げた分を、電気で余分に入れ直すからです。

動かしてみよう

水の量 $\sdiV$ と電力 $\sdiP$ を動かしてください。左の「沸くまで」の時間が変わり、右の柱が、同じエネルギーで物を持ち上げる高さを示します。高さの目盛りは、1つ上がるごとに10倍です。持ち上げる物は、ボタンで選べます。

外へ逃げる熱の割合 $\sdiF$ を上げると、左下の家計簿の帯に、逃げた熱（黄土）の分が現れます。上の帯（電気で入れた分）は、下の2つの和と、いつも同じ長さです。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1水の量 V を半分の 0.5 L にする。要る熱と、沸くまでの時間を見る（まだ）
2. 2水は 1 L のまま、持ち上げる物を「1 kg の物」にする。右の柱の高さを見る（まだ）
3. 3水は 1 L のまま、外へ逃げる熱の割合 f を 20% にする。下の家計簿の帯の分かれ方を見る（まだ）

V水の量−L＋

t₁初めの水温−℃＋

Pケトルの電力−W＋

f外へ逃げる熱の割合−%＋

M持ち上げる物の質量

1 t の車60 kg の人1 kg の物

いまの図を残して比べる沸くまでの時間は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{t_{\text{沸}}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{E}}{\htmlClass{q-moment}{P}}$$$$= \dfrac{334{,}900\ \mathrm{J}}{1{,}200\ \mathrm{W}}$$$$= 279\ \mathrm{s}\ (4\ \text{分}\ 39\ \text{秒})$$

沸くまでの時間

$\htmlClass{q-geometry}{t_{\text{沸}}} = 279\ \mathrm{s}$

水に入れる熱（水にためる分）

$\htmlClass{q-heat}{Q} = 335\ \mathrm{kJ}$

電気で入れるエネルギー

$\htmlClass{q-moment}{E} = 335\ \mathrm{kJ}$

外へ逃げる熱

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{逃}}} = 0\ \mathrm{kJ}$

同じエネルギーで持ち上げられる高さ

$\htmlClass{q-displacement}{h} = 34.1\ \mathrm{m}$

途中の計算（導出）を見る

1. 水の質量（1 L ＝ 1 kg）

   $$\htmlClass{q-material}{m} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{V} = 1\ \mathrm{kg/L} \times 1\ \mathrm{L} = 1\ \mathrm{kg}$$

2. 水に入れる熱（1 kg を 1 K 上げるのに 4,186 J）

   $$\htmlClass{q-heat}{Q} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c}\,(\htmlClass{q-heat}{t_2} - \htmlClass{q-heat}{t_1}) = 1 \times 4186 \times (100 - 20) = 334.9\ \mathrm{kJ}$$

3. 電気で入れるエネルギー（家計簿：水にためる分 ＋ 外へ逃げる熱）

   $$\htmlClass{q-moment}{E} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{Q}}{1 - \htmlClass{q-heat}{f}} = \dfrac{334.9\ \mathrm{kJ}}{1 - 0} = 334.9\ \mathrm{kJ}$$

4. 外へ逃げる熱

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{逃}}} = \htmlClass{q-moment}{E} - \htmlClass{q-heat}{Q} = 334.9\ \mathrm{kJ} - 334.9\ \mathrm{kJ} = 0\ \mathrm{kJ}$$

5. 沸くまでの時間（1 W は、1 秒に 1 J）

   $$\htmlClass{q-geometry}{t_{\text{沸}}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{E}}{\htmlClass{q-moment}{P}} = \dfrac{334{,}900\ \mathrm{J}}{1{,}200\ \mathrm{W}} = 279\ \mathrm{s}\ (4\ \text{分}\ 39\ \text{秒})$$

6. 水に入れた熱と同じエネルギーで、物を持ち上げられる高さ

   $$\htmlClass{q-displacement}{h} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{Q}}{\htmlClass{q-material}{M}\,\htmlClass{q-geometry}{g}} = \dfrac{334{,}900\ \mathrm{J}}{1{,}000\ \mathrm{kg} \times 9.807\ \mathrm{m/s^2}} = 34.1\ \mathrm{m}$$

機械力学の はずみ車（回転のエネルギー） の単元では、回る円板にためるエネルギーを J で数えました。この科目では、それに熱と内部エネルギーが加わります。

よくある勘違い

「熱と温度は同じもの」

温度は、物の熱さの目盛りです。熱は、温度の高いほうから低いほうへ移るエネルギーの量です。

同じ 100℃ のお湯でも、量が 2倍なら、入れた熱は 2倍です。

「熱は、物の中にたまっている」

物の中にたまっているのは、内部エネルギーです。熱は、温度の差で物から物へ移るときのエネルギーの呼び名です。仕事も同じで、力で押して移したエネルギーの呼び名です。

同じ内部エネルギーの増えは、熱でも仕事でも作れます。ケトルの水を、ジュールのように羽根車でかき混ぜて温めても、できたお湯は見分けられません。

「使ったエネルギーは、なくなる」

なくなりません。ケトルから逃げた熱は、台所の空気を温めています。お湯が冷めるときも、内部エネルギーが熱としてまわりへ移るだけです。合計は、いつも同じです。使いにくい形に変わっていくだけです。

この公式が使える条件

• 水の比熱 4,186 J/(kg·K) は、0〜100℃ の平均の目安（温度で 1% ほど変わる）。1 L ＝ 1 kg とする
• 沸いた後に、水が湯気になって出ていく分は入れない（湯気にするには、別に大きな熱が要る）
• ケトルの部品自体を温める熱は、「外へ逃げる熱」にまとめて入れる
• 第一法則 $\sntQ = \sntDU + \sntW$ は、どんな物・どんな変化にも成り立つ。仕事 $\sntW$ は外にした向きを正、熱 $\sntQ$ は入れた向きを正にとる

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

持ち上げる仕事：仕事は 力 × 動いた距離です。質量 $\sdiM$ の物を持ち上げる力は重さ $\sdiM\,\sdiG$ なので、高さ $\sdiH$ まで持ち上げる仕事は $\sdiM\,\sdiG\,\sdiH$。これを水に入れる熱 $\sdiQ$ と等しいと置いて、$\sdiH = \sdiQ/(\sdiM\,\sdiG)$ です。

電力と時間：電力 $\sdiP$ [W] は、1 秒あたりのエネルギー [J/s] です。熱が逃げる割合を $\sdiF$ とすると、電気で入れた $\sdiE$ のうち $(1 - \sdiF)\,\sdiE$ が水に入ります。これが $\sdiQ$ と等しいので、$\sdiE = \sdiQ/(1 - \sdiF)$、時間は $\sdiE/\sdiP$。$\sdiF = 0.2$ なら、電気は 419 kJ、時間は 5分49秒です。

水がふくらむ仕事：水の密度は、20℃ で 998 kg/m³、100℃ で 958 kg/m³ です。1 kg の水の体積は 1.0018 L から 1.0435 L へ、0.0417 L 増えます。大気圧に逆らって押しのける仕事は $101{,}325\ \mathrm{Pa} \times 0.0417 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3} = 4.2\ \mathrm{J}$ です。

第一法則の形：入れた熱 $\sntQ$ は、家計簿の「入ってきた分」。外にした仕事 $\sntW$ は「外へ出した分」。残りが「中にためた分」$\sntDU$。

$$\sntQ - \sntW = \sntDU \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sntQ = \sntDU + \sntW$$

外から押し込まれた（仕事をされた）ときは $\sntW$ が負、熱が出ていったときは $\sntQ$ が負です。断熱変化 の単元では、この向きを「押し込んだ仕事 ＝ ためた分 ＋ 外へ出た熱」と読みかえて使います。