1 kW の電気で、7.83 kW の熱を部屋へ冷凍サイクルとヒートポンプ

電気より多くの熱が、部屋に入る

冬の朝、エアコンの暖房を入れると、家の外の室外機のファンが回り始めます。室外機の前に手をかざすと、吹き出してくる風は、外の空気より冷たくなっています。

日立のエアコン（白くまくん X シリーズ RAS-X22J）のカタログでは、暖房の定格の運転で、消費電力 430 W のとき、部屋に入れる熱（暖房能力）は 2.5 kW です。電気の 5.8倍の熱が、部屋に入っています。

電気ストーブなら、430 W の電気からは 430 W の熱しか出ません。エアコンの残りの熱は、どこから来たのでしょうか。

予想してから読む冷媒が 0℃ の外の側から、40℃ の部屋の側へ熱を運ぶ。1 kW の電気で、部屋に入れられる熱は最大でいくら？

A1 kW（電気と同じ）B1 kW より少し小さい（損があるから）C約 7.8 kW

熱を汲み上げるポンプ

カルノーサイクルと第二法則（効率の上限） の単元で、熱を高いところから低いところへ流れる水にたとえました。水車は、水が流れ落ちる間だけ仕事を取り出せます。熱機関も、熱が高温から低温へ流れる間だけ、仕事を取り出せます。

逆に、低いところの水を高いところへ上げるには、ポンプを電気で回します。熱も同じで、温度の低い側から高い側へ運ぶには、仕事が要ります。この熱のポンプを、ヒートポンプといいます。

暖房では、冷たい外が「低い池」、暖かい部屋が「高い水槽」です。冷房は向きが逆で、部屋から熱を汲み上げて、もっと暑い外へ捨てます。冷蔵庫も、庫内から熱を汲み上げて、背面から台所へ捨てています。

たとえで違うのは、ここからです。水は汲み上げても量が増えません。熱のポンプでは、回すのに使った電気の分も熱になって、高い側に出ていきます。

冷媒は、沸点を圧力で変えて熱を運ぶ

熱を運ぶのは、エアコンの管の中を回る冷媒です。蒸発と沸点（蒸気の性質） の単元で見たように、液体は、蒸発するときにたくさんの熱を受け取り、沸点は圧力で決まります。冷媒は、この2つを使って熱を運びます。

たとえば、家庭用エアコンの冷媒 R32 は、絶対圧 約 0.81 MPa で 0℃、約 2.48 MPa で 40℃ が沸点です（物性の計算値。目安）。圧縮機で圧力を約 3倍にすると、沸点が 40 K 上がります。だから、0℃ で受け取った熱を、40℃ で出せます。

暖房と冷房の切り替えは、冷媒の流れる向きを、弁で逆にするだけです。室外機が蒸発器になるか、凝縮器になるかが入れ替わります。

公式はこれ

運んだ熱が使った電気の何倍かを、成績係数 COPといいます。1 を超えるので、効率とは呼びません。冷房で役に立つのは、低い側から汲み上げた熱 $\shpQL$、暖房で役に立つのは、高い側へ出す熱 $\shpQH$ です。

理論の上限は、カルノーサイクルと第二法則（効率の上限） の単元のカルノーサイクルを、逆向きに回したときです。

$$\shpCOPc = \dfrac{\shpQL}{\shpW} = \dfrac{\shpTLK}{\shpTHK - \shpTLK}, \qquad \shpCOPh = \dfrac{\shpQH}{\shpW} = \dfrac{\shpTHK}{\shpTHK - \shpTLK}$$

暖房では $313.15 \div 40 = 7.83$、冷房では $273.15 \div 40 = 6.83$ です。1 kW の電気で、低い側から 6.83 kW を汲み上げ、高い側へ 7.83 kW を出します。

家計簿で読む

冷媒は、1周するともとの状態に戻るので、ためた分は 0 です。入ってきたのは、低い側から受け取った熱と、圧縮機の電気。出ていくのは、高い側へ出す熱です。

$$\underbrace{\shpQH}_{\text{高い側へ出す熱}} = \underbrace{\shpQL}_{\text{汲み上げた熱}} + \underbrace{\shpW}_{\text{電気}}$$

両辺を電気 $\shpW$ で割ると、$\shpCOPh = \shpCOPc + 1$ です。暖房では、電気の分も部屋を暖める役に立ちます。冷房では、電気の分は外へ捨てる熱に加わるだけです。だから、同じ温度の間なら、暖房の COP は冷房よりちょうど 1 大きくなります。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\shpCOPh = \underbrace{\shpTHK}_{\text{高い側の絶対温度}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\shpTHK - \shpTLK}}_{\text{汲み上げる高さで割る}}$$

1. 高い側の絶対温度 $\shpTHK$　絶対温度なので、313 K のように大きな数です。40℃ を 36℃ にしても、313 K が 309 K になるだけで、ほとんど変わりません。
2. 汲み上げる高さ（温度差）で割る　COP を大きく左右するのは、こちらです。温度差が半分なら、COP の上限は2倍。温度差が 0 に近づくと、上限はいくらでも大きくなります。

水のポンプでも、汲み上げる高さが低いほど、同じ電気でたくさんの水を上げられます。

どの数字がいちばん効く？

初期値（0℃ ↔ 40℃・電気 1 kW）から、温度差を10%（4 K）縮めたときと、電気を10%増やしたときです。

温度差を10%縮めると、COP の上限は1割ほど上がります。冷房のほうが、上がり方が少し大きくなります。

実物のエアコンと比べる

カタログの数字は、JIS（C 9612）で決めた条件で測ります。暖房の定格は、外 7℃・部屋 20℃、冷房の定格は、外 35℃・部屋 27℃ です。

日立の RAS-X22J では、暖房の定格の COP は 2.5 kW ÷ 0.43 kW ＝ 5.81、冷房の定格の COP は 2.2 kW ÷ 0.40 kW ＝ 5.50 です。

空気どうしの上限より、ずっと小さくなります。熱は温度の高いほうから低いほうへしか流れないので、冷媒は、外の空気より冷たく、部屋の空気より熱くなければなりません。運ぶ温度差が、13 K から 40 K くらいに広がります。残りの差は、圧縮機のモータ・冷媒の流れの摩擦・ファンの電気などです。

カタログには、APF（通年エネルギー消費効率）という数字もあります。1年間の冷房と暖房で運んだ熱の合計を、使った電気の合計で割った値です。RAS-X22J は 7.6 です。外の温度が穏やかな日が多いので、定格の COP より大きくなります。

動かしてみよう

低い側の温度 $\shpTL$ のスライダーを右へ動かして、高い側に近づけてください。左の温度計の2本の線が近づき、右の曲線の上の点が左上へ上がります。下から入る熱の矢印が太くなります。

運転を「冷房」と「暖房」で切り替えると、帯の札の「部屋の側」と「外の側」が入れ替わり、結果の欄の COP が 1 だけ変わります。右の破線は、実物のエアコンの定格の COP です。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1暖房のまま、低い側の温度 tL を −10℃（冬の朝、冷媒が外の空気より冷たくなる）にして、下から入る熱の矢印の太さを見る（まだ）
2. 2暖房のまま、低い側の温度 tL を 20℃（温度差を半分の 20 K）にして、右の曲線の上の点の高さを見る（まだ）
3. 3運転を「冷房」に切り替えて、結果の欄の COP と、左の帯の電気（紫）の行き先を見る（まだ）

運転冷房か暖房か

冷房暖房

tL低い側の温度（冷媒が熱を受け取る）−℃＋

tH高い側の温度（冷媒が熱を出す）−℃＋

W使う電気（圧縮機を回す仕事）−kW＋

いまの図を残して比べるいまの運転の COP の上限は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{暖}}} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_H}}{\htmlClass{q-heat}{T_H} - \htmlClass{q-heat}{T_L}} = \htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{冷}}} + 1$$$$= \dfrac{313.15}{40}$$$$= 7.83$$

いまの運転の COP の上限

$\htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}} = 7.83\$

低い側から汲み上げる熱

$\htmlClass{q-heat}{Q_L} = 6.83\ \mathrm{kW}$

高い側へ出す熱

$\htmlClass{q-heat}{Q_H} = 7.83\ \mathrm{kW}$

温度差（汲み上げる高さ）

$\htmlClass{q-heat}{T_H - T_L} = 40\ \mathrm{K}$

ほかの値（4 個）

冷房の COP の上限

$\htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{冷}}} = 6.83\$

暖房の COP の上限

$\htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{暖}}} = 7.83\$

低い側の絶対温度

$\htmlClass{q-heat}{T_L} = 273.15\ \mathrm{K}$

高い側の絶対温度

$\htmlClass{q-heat}{T_H} = 313.15\ \mathrm{K}$

途中の計算（導出）を見る

1. 温度を絶対温度に直す

   $$\htmlClass{q-heat}{T_L} = \htmlClass{q-heat}{t_L} + 273.15,\quad \htmlClass{q-heat}{T_H} = \htmlClass{q-heat}{t_H} + 273.15 = 0 + 273.15,\quad 40 + 273.15 = 273.15\ \mathrm{K},\ 313.15\ \mathrm{K}\ (\text{差 } 40\ \mathrm{K})$$

2. 冷房（低い側から熱を運び出す）の COP の上限

   $$\htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{冷}}} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_L}}{\htmlClass{q-heat}{T_H} - \htmlClass{q-heat}{T_L}} = \dfrac{273.15}{313.15 - 273.15} = 6.83$$

3. 暖房（高い側へ熱を入れる）の COP の上限

   $$\htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{暖}}} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_H}}{\htmlClass{q-heat}{T_H} - \htmlClass{q-heat}{T_L}} = \htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{冷}}} + 1 = \dfrac{313.15}{40} = 7.83$$

4. 低い側から汲み上げる熱（毎秒）

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_L} = \htmlClass{q-geometry}{\mathrm{COP}_{\text{冷}}}\,\htmlClass{q-moment}{W} = 6.83 \times 1\ \mathrm{kW} = 6.83\ \mathrm{kW}$$

5. 高い側へ出す熱（家計簿：汲み上げた熱 ＋ 電気）

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_H} = \htmlClass{q-heat}{Q_L} + \htmlClass{q-moment}{W} = 6.83 + 1\ \mathrm{kW} = 7.83\ \mathrm{kW}$$

よくある勘違い

「COP 7 は、効率 700%。エネルギーが増えている」

増えていません。部屋に入る 7 kW のうち、6 kW は外の空気が持っていた熱を運んだもので、作ったのは電気の 1 kW 分だけです。家計簿は、いつも合っています。

「外が 0℃ より寒いと、熱は汲み上げられない」

−10℃ の空気も、熱を持っています。冷媒をそれより冷たくすれば、熱を受け取れます。ただし、汲み上げる高さが大きくなるので、COP は下がります。

「冷房のほうが、暖房より COP が大きい」

同じ温度の間なら、暖房のほうが、ちょうど 1 大きくなります。カタログで冷房の COP が大きく見えることがあるのは、測る条件（外と部屋の温度）が冷房と暖房で違うからです。

この公式が使える条件

• 理論の上限（逆カルノーサイクル）。冷媒の流れの摩擦・圧縮機の損失・熱交換器の温度差は入れない。実物はこれより必ず小さい
• 温度は、冷媒が熱を受け取る温度と、出す温度（どちらも一定とみなす）。空気の温度を入れると、上限はもっと大きくなる
• 高い側の温度が、低い側より高い（同じなら、熱は汲み上げなくても移せる）
• 電気は、全部が圧縮機の仕事になるとする

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

エントロピーの勘定：冷媒は1周するともとに戻るので、冷媒のエントロピーは変わりません。低い側から熱 $\shpQL$ を受け取るとき、冷媒のエントロピーは $\shpQL/\shpTLK$ 増えます。高い側へ熱 $\shpQH$ を出すとき、$\shpQH/\shpTHK$ 減ります（エントロピーと T-s 線図 の単元）。

熱が温度差のない所でだけ移る、理想の運転では、まわりのエントロピーも増えません。

$$\dfrac{\shpQL}{\shpTLK} = \dfrac{\shpQH}{\shpTHK} \qquad\Longrightarrow\qquad \dfrac{\shpQH}{\shpQL} = \dfrac{\shpTHK}{\shpTLK}$$

家計簿と組み合わせる：$\shpW = \shpQH - \shpQL = \shpQL\,(\shpTHK/\shpTLK - 1)$ なので、

$$\shpCOPc = \dfrac{\shpQL}{\shpW} = \dfrac{\shpTLK}{\shpTHK - \shpTLK}, \qquad \shpCOPh = \dfrac{\shpQH}{\shpW} = \dfrac{\shpTHK}{\shpTHK - \shpTLK}$$

熱機関の効率の上限との関係：カルノーサイクルと第二法則（効率の上限） の単元の効率の上限 $1 - \shpTLK/\shpTHK$ の逆数が、暖房の COP の上限です。0℃ と 40℃ なら、効率の上限は 12.8%、その逆数が 7.83 です。

実物が上限より小さい理由：実際には、熱交換器で冷媒と空気の間に温度差があり、膨張弁で冷媒が仕事をせずに圧力を下げます。どちらもエントロピーを増やすので、同じ熱を運ぶのに、電気をより多く使います。