同じ柱でも、支え方で強さが16倍ちがう支持条件と有効座屈長さ

同じ棒でも、支え方で強さが変わる

庭の旗ざお、道ばたの街灯のポール。どちらも、根元は地面にしっかり固定されていて、先端は何にも支えられていません。

突っ張り棒は、両端を押しつけているだけです。テーブルの脚は、上が天板に、下が床に押さえられています。

どれも、上から押される細長い棒、つまり柱です。

同じ長さ・同じ太さの棒でも、どう支えるかで、曲がり出す荷重（座屈荷重）が大きく変わります。

ここで問いを置きます。根元だけを固定した棒と、上下の両端を固定した棒。曲がり出す荷重は、何倍ちがうでしょうか。

予想してから読む同じ長さ・同じ太さの棒。根元だけを固定した棒と、上下の両端を固定した棒では、曲がり出す荷重は何倍ちがう？

A2倍B4倍C16倍

両端ピンの座屈荷重は、オイラーの座屈荷重 で求めました。その式を、ほかの支え方にも使えるようにするのが、この単元です。

定規を立てて、手で押してみる

30 cm のプラスチックの定規を、机の上に縦に立てて、上から手のひらで押します。やり方を3通り試します。

1. 下の端を机に押しつけて固定し、上の端は手のひらをのせるだけ。定規は、ほんの少し押しただけで、ぐにゃりと曲がります。
2. 下の端も上の端も、指先でつまんで、回転できるようにする。1 よりは、しっかり押せます。
3. 下の端も上の端も、手のひらで握りこんで、向きが変わらないようにする。かなり強く押さないと、曲がりません。

定規は同じ、押す力のかけ方も同じです。変えたのは、両端をどう押さえるかだけです。

この「押さえ方」を、材料力学では支持条件といいます。端の支え方には3種類あります。

• 固定　ずれも、向きの変化（回転）も許さない
• ピン　ずれは許さないが、向きは自由に変わる
• 自由　何も支えない

柱の下の端と上の端に、この3つを組み合わせます。この単元で扱うのは、よく出てくる4通りです。

変曲点は、ピンと同じ

前の単元のシーソーを思い出します。曲がった柱の各断面で、2つの効き目が釣り合っていました。

• 曲げる効き目：荷重 × その断面のずれ
• 戻す効き目：$\sE\sI$ × その断面の曲がり具合

両端ピンの柱は、全体が1つの弓（正弦曲線の半波）になりました。その半波の長さ $\seuL$ が、式の分母 $\seuL^2$ に入っていました。

ほかの支え方では、座屈した形が、弓1つにはなりません。ところどころで、曲がる向きが入れ替わります。この点を変曲点と呼びます。

変曲点では、曲がり具合が 0 です。だから、戻す効き目も 0 です。シーソーが釣り合っているので、曲げる効き目も 0 です。

曲げる効き目が 0 の点は、ピンと同じです。ピンは、向きを自由に変えられるので、曲げる効き目を受け持たないからです。

変曲点で柱を切って、ピンで支え直しても、曲がり方は変わりません。変曲点の間は、両端ピンの柱と同じ半波で曲がっています。

4つの支え方の、半波の長さ

4つの支え方で、変曲点の間（半波1つぶん）の長さを見ます。

• 両端ピン　両端が変曲点です。半波の長さは、柱の長さ $\seuL$ そのままです。
• 両端固定　両端で向きが変わらないので、中ほどがふくらみ、両端の近くは逆向きに曲がります。変曲点は、柱の長さの 1/4 と 3/4 のところ。変曲点の間は、柱の半分です。
• 一端固定・他端自由　自由な先端は、何も支えていないので、曲げる効き目が 0 の変曲点です。柱は、半波のちょうど半分にあたります。固定端のまわりに折り返した形（点線）を足すと、変曲点の間は、柱の長さの 2 倍になります。
• 一端固定・他端ピン　ピンの端は変曲点です。もう1つの変曲点は、固定端から 0.301 L のところ。変曲点の間は、0.699 L になります。

この半波1つぶんの長さを有効座屈長さ $K\seuL$ と呼びます。柱の長さとの比 $K$ を有効長さ係数と呼びます。

前の単元の式 $\seuPcr = \pi^2\sE\sI/\seuL^2$ の $\seuL$ は、半波の長さでした。そこを $K\seuL$ に置きかえます。

$$\seuPcr = \dfrac{\pi^2\sE\sI}{(K\seuL)^2}$$

どの支え方でも、この1つの式で座屈荷重が出ます。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\seuPcr = \dfrac{\overbrace{\pi^2}^{\text{半波の形で決まる数}}\ \overbrace{\sE\sI}^{\text{曲がりにくさ}}}{\underbrace{(K\seuL)^2}_{\text{半波1つぶんの長さの2乗}}}$$

1. 曲がりにくさ $\sE\sI$　材料の硬さ（$\sE$）と、断面の形（$\sI$）の積です。戻す効き目の大きさにあたります。
2. 半波1つぶんの長さ $K\seuL$　半波が長いほど、同じずれでもゆるやかにしか曲がらず、戻す効き目が小さくなります。座屈荷重は、この長さの2乗に反比例します。
3. 半波の形で決まる数 $\pi^2$　半波1つぶんの正弦曲線から出てくる数です。支え方が変わっても、この数は変わりません。変わるのは $K\seuL$ だけです。

支え方ごとの K と座屈荷重

支え方ごとの $K$ と、座屈荷重の比を並べます。荷重の比は、$1/K^2$ です。

長さ 1,000 mm、断面 10 × 20 mm の鋼の板（ヤング率 206 GPa）が、薄い向きに曲がる場合の座屈荷重も並べました。

両端ピンの行を、式で確かめます。板の弱い向きの $\sI$ は、20 × 10³ ÷ 12 = 1,667 mm⁴ です。

$$\seuPcr = \dfrac{\pi^2\sE\sI}{(K\seuL)^2} = \dfrac{\pi^2 \times 206{,}000 \times 1{,}667}{(1 \times 1{,}000)^2} = 3{,}389\ \mathrm{N}$$

一端固定・他端自由では、$K\seuL$ が 2,000 mm になります。分母が 4 倍になり、座屈荷重は 847 N です。

支え方を変えるだけで、16 倍

冒頭の問いに答えます。表の、いちばん上といちばん下を見てください。

一端固定・他端自由は 1/4、両端固定は 4 です。同じ柱なのに、耐えられる荷重が 4 ÷ (1/4) = 16 倍ちがいます。

$$\dfrac{\text{両端固定}}{\text{一端固定・他端自由}} = \left(\dfrac{2}{0.5}\right)^2 = 4^2 = 16$$

$K$ が 2 と 0.5 で 4 倍ちがい、荷重は $K$ の2乗に反比例するからです。柱の長さを 4 倍にすると、座屈荷重が 1/16 になるのと同じことが、支え方だけで起きます。

どの数字がいちばん効くか

座屈荷重を、各変数だけ 10% 変えたときの変化です（長さ 1,000 mm、断面 10 × 20 mm の鋼の板、両端ピンを基準にしました）。

いちばん効くのは、薄い辺 $\sb$ です。$\sI$ が $\sb^3$ に比例するからです。

次が、$\seuL$ と $K$ です。2乗で効きます。$\seuL$ と $K$ は、$K\seuL$ という積でしか式に入りません。だから、支えがゆるんで $K$ が 1 割大きくなるのは、柱が 1 割長くなるのと同じです。

ヤング率は、10% の変化では、いちばん小さい効きです（材料を鋼からアルミに替えると、1/3 になります）。

理論値と、設計で使う値は、ちがう

ここまでの $K$ は、端が理想の固定・ピン・自由になっている場合の値（理論値）です。

現実の固定は、どれだけ固く作っても、少しは回転します。ピンも、摩擦で完全には回転しません。

そのため、実際の設計では、理論値よりも大きめの $K$ を使う決まりになっています。たとえば、米国鋼構造協会（AISC）の設計基準の解説（AISC 360 の付録7の解説）は、理論値と、設計に推奨する値を並べた表を載せています。推奨値が理論値より少し大きいのは、接合部の固定が完全になることが、めったにないからです。設計に使う数値は、建築や機械など、使う分野の規格で確認してください。

動かしてみよう

支え方（4種類）を選んで、長さ・断面・材料を動かしてください。曲線は座屈したときの形、白い丸は変曲点、その間の長さが $K\seuL$ です。

まず、支え方だけを順に切り替えて、$K\seuL$ の長さと座屈荷重を見比べます。次に、$\sb$ を倍にすると座屈荷重が何倍になるか（8 倍のはずです）、確かめてみてください。

シミュレータ支え方を選んで、長さ・断面・材料を動かします初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1「両端ピン」で、長さ L を2倍の 2,000 mm にして、座屈荷重を初期値と比べる（まだ）
2. 2長さを 1,000 mm に戻し、「両端固定」に切り替えて、図の白い丸（変曲点）の間の長さを見る（まだ）
3. 3「一端固定・他端ピン」に切り替えて、下の表の比を見る（まだ）

一端固定・他端自由両端ピン一端固定・他端ピン両端固定

鋼（206 GPa）アルミ合金（70 GPa・目安）木（9 GPa・目安）

L柱の長さ−mm＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

柱の断面は長方形（薄いほうの辺 $b$、もう一方の辺 $h$）。薄い向きに曲がるので、$I = h\,b^3/12$ を使います。

いまの座屈荷重を残して比べる座屈荷重は、初期値（固定-自由・847 N）の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{\pi^2 \htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}{(\htmlClass{q-geometry}{K}\htmlClass{q-geometry}{L})^2} = \dfrac{\pi^2 \times 206{,}000 \times 1{,}667}{(2{,}000)^2} = 847.1\ \mathrm{N}$$

有効長さ係数

$\htmlClass{q-geometry}{K} = 2\$

有効座屈長さ

$\htmlClass{q-geometry}{KL} = 2{,}000\ \mathrm{mm}$

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 1{,}667\ \mathrm{mm^4}$

座屈荷重（この支持条件）

$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}} = 847.1\ \mathrm{N}$

両端ピンの座屈荷重（同じ柱）

$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr},\text{ピン}}} = 3{,}389\ \mathrm{N}$

座屈荷重の比（両端ピン＝1）

$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}/P_{\mathrm{cr},\text{ピン}}} = 0.25\$

細長比（有効座屈長さ ÷ 断面の回転半径）

$\htmlClass{q-geometry}{KL/r} = 692.8\$

座屈するときの平均の応力（座屈荷重 ÷ 断面積）

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\mathrm{cr}}} = 4.236\ \mathrm{MPa}$

同じ柱を、4つの支え方にしたときの比（いまの長さ・断面・材料で）

支え方	K	有効座屈長さ KL	座屈荷重 Pcr	比（両端ピン＝1）
固定-自由	2	2,000 mm	847.1 N	0.25
ピン-ピン	1	1,000 mm	3,389 N	1
固定-ピン	0.6992	699.2 mm	6,932 N	2.05
固定-固定	0.5	500 mm	13,550 N	4

途中の計算（導出）を見る（一端固定・他端自由）

1. 座屈形の条件から、kL を決める（一端固定・他端自由。k² = P/(EI)）

   $$\cos kL = 0\ \Rightarrow\ kL = \text{最小の正の根} = 1.5708$$

2. 有効長さ係数（両端ピンの kL = π を基準にした比）

   $$\htmlClass{q-geometry}{K} = \dfrac{\pi}{kL} = \dfrac{\pi}{1.5708} = 2$$

3. 有効座屈長さ（半波1つぶんの長さ）

   $$\htmlClass{q-geometry}{KL} = \htmlClass{q-geometry}{K}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 2 \times 1{,}000\ \mathrm{mm} = 2{,}000\ \mathrm{mm}$$

4. 断面二次モーメント（弱い軸＝薄いほうの辺 b のまわり）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{h}\,\htmlClass{q-geometry}{b}^3}{12} = \dfrac{20 \times 10^3}{12} = 1{,}667\ \mathrm{mm^4}$$

5. 座屈荷重

   $$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{\pi^2 \htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}{(\htmlClass{q-geometry}{K}\htmlClass{q-geometry}{L})^2} = \dfrac{\pi^2 \times 206{,}000 \times 1{,}667}{(2{,}000)^2} = 847.1\ \mathrm{N}$$

6. 同じ柱を両端ピンにしたときとの比（K² の逆数）

   $$\dfrac{\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}}}{\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr},\text{ピン}}}} = \dfrac{1}{\htmlClass{q-geometry}{K}^2} = \dfrac{847.1\ \mathrm{N}}{3{,}389\ \mathrm{N}} = 0.25$$

7. 細長比と、座屈するときの平均の応力

   $$\dfrac{KL}{r} = \dfrac{KL}{\sqrt{I/A}},\quad \htmlClass{q-stress}{\sigma_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}}}{A} = \dfrac{2{,}000}{\sqrt{1{,}667/200}},\ \dfrac{847.1}{200} = 692.8,\ 4.236\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「固定は、ピンより必ず強い」

座屈荷重だけを見れば、両端を固定した柱の値が大きくなります（4倍）。ただし、これは、固定端が理想どおり、まったく回転しない場合の値です。

固定端には、壁や土台に、曲げる効き目を受け止める強さが要ります。受け止める側が弱ければ、固定のつもりが、ピンと同じになります。

「$K$ は材料で決まる」

$K$ は、端の支え方だけで決まる数です。鋼でも木でも、両端ピンなら 1 です。材料の硬さは $\sE$ に入り、$K$ には入りません。

「有効座屈長さは、柱の本当の長さのことだ」

柱の本当の長さは $\seuL$ です。有効座屈長さ $K\seuL$ は、半波1つぶんの長さで、座屈の計算のために両端ピンの柱に置きかえたときの長さです。一端固定・他端自由では、柱の 2 倍。両端固定では、半分になります。

この単元で使う前提

• 柱は、まっすぐで、荷重は柱の軸に沿って、断面の図心にかかる
• 材料は、一様で、フックの法則に従う範囲（弾性）で曲がる
• 支え方は、理想の固定・ピン・自由。一端固定・他端自由のほかは、柱の上の端と下の端が、横にずれ合わない
• 曲がる向きは、断面の弱い軸のまわり（薄い辺 $\sb$ の向き）。長方形では $\sI = \sh\sb^3/12$ を使う
• 柱が十分に細長いこと。細長比 $K\seuL/r$（$r = \sqrt{\sI/\sA}$ は断面二次半径）が小さい、太くて短い柱では、座屈の前に材料が押しつぶされるので、オイラーの式は答えが大きすぎます。鋼では、細長比が 100 より小さいときは、使えないと考えます（目安）

K の導き方（くわしく知りたい人へ）

柱が曲がったときの、釣り合いの式は、次のとおりです（オイラーの座屈荷重 の導出の式を、2回微分した形）。

$$\sE\sI\,y'''' + P\,y'' = 0$$

$k^2 = P/(\sE\sI)$ とおくと、一般の解は、次の形です。

$$y = A\sin kx + B\cos kx + Cx + D$$

4つの定数 $A, B, C, D$ を、両端の条件で決めます。支え方が変わると、条件が変わり、解けるときの $kL$ の最小値が変わる、というのが、この単元の中心です。

端の条件	式
固定端	たわみ $y = 0$、向き $y' = 0$
ピン	たわみ $y = 0$、曲げモーメント $y'' = 0$
自由端	曲げモーメント $y'' = 0$、横向きの力 $\sE\sI\,y''' + P\,y' = 0$

これを、4つの支え方に当てはめると、$A = B = C = D = 0$ 以外の解が出る条件（特性方程式）は、次のようになります。

支え方	特性方程式	最小の $kL$	$K = \pi/(kL)$
一端固定・他端自由	$\cos kL = 0$	$\pi/2$	2
両端ピン	$\sin kL = 0$	$\pi$	1
一端固定・他端ピン	$\tan kL = kL$	4.4934	0.6992
両端固定	$\sin\dfrac{kL}{2} = 0$	$2\pi$	0.5

一端固定・他端ピンの $\tan kL = kL$ は、式を解いて閉じた形では書けません。数値で解くと、最小の正の根が 4.4934 です。

座屈荷重は $P = k^2\sE\sI = (kL)^2\,\sE\sI/L^2$。両端ピンでは $kL = \pi$ なので、$P = \pi^2\sE\sI/L^2$ です。どの支え方でも、$kL = \pi/K$ と書けば、次の式になります。

$$P_{\mathrm{cr}} = \dfrac{\pi^2\sE\sI}{(KL)^2}$$

このサイトでの確かめ：特性方程式を解くのとは別に、柱をはり要素に分けて、座屈荷重を固有値問題として数値的に解く方法（有限要素法）でも $K$ を求めました。4つの支え方すべてで、特性方程式の答えと 6 桁一致しています。