重い物は、壁際に置くほど棚が楽になる片持ちばりのたわみ（等分布荷重）

前の単元との違い支え方は前の単元（片持ち・先端に集中荷重）と同じです。荷重が先端の1点ではなく、全体に広がってかかります。

張り出した屋根、バルコニー、飛行機の翼

駐輪場の屋根、ビルのバルコニー、家の庇（ひさし）、飛行機の翼。どれも、片方の端だけが固定されて、反対側が空中に張り出しています。

しかも、荷重は先端の1点ではなく、全体に広がっています。雪や人の重さ、そして、張り出した部分自身の重さです。飛行機の翼は、地上では自分の重さで下へ、飛んでいるときは揚力で上へ、どちらも翼の全体に広がった荷重を受けます。

雪の積もった庇の先端が下がりすぎると、先に付けた雨どいが傾いたり、外壁との継ぎ目にすき間ができたりします。重さが広がってかかる棒が、どれだけ下がるかは、設計の最初に確かめる数字です。

この単元では、庇の骨組みの1本で考えます。壁から鋼の角棒（幅 30 mm、高さ 60 mm）が 1,000 mm 突き出しています。その上に、雪が全体に均等に積もり、重さは合わせて 3,000 N です。

先端は、何 mm 下がるでしょうか。雪が先端の1点に集まっていた場合と比べると、どうでしょうか。

予想してから読む同じ 3,000 N の雪を、先端の1点ではなく全体に均等に載せると、先端のたわみは何倍になる？

A変わらないB2分の1C8分の3D8分の1

前の単元 片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） では、荷重が先端の1点にかかっていました。今回は、全体に広がってかかる荷重（等分布荷重）です。長さ 1 mm あたりの荷重 $\sw$（N/mm）で表します。

公式はこれ

$$\sdelta = \dfrac{\sw\,\sL^4}{8\,\sE\,\sI}$$

全部の重さ（総荷重）は $\sW = \sw\,\sL$ です。壁は、この総荷重の全部を受け止めます。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\sdelta = \underbrace{\sw\,\sL}_{\text{総荷重}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sE\,\sI}}_{\text{曲がりやすさ}} \times \underbrace{\dfrac{\sL^3}{8}}_{\text{長さで広がる}}$$

1. 総荷重 $\sw\,\sL$　棒に載っている重さの合計です。雪が多いほど、大きくなります。
2. 曲がりやすさ $1/\sE\,\sI$　前の単元と同じです。材料の硬さ $\sE$ と、断面の形 $\sI$ が大きいほど、曲がりません。
3. 長さで広がる $\sL^3/8$　先端に1点の荷重なら $\sL^3/3$ でした。それが $1/8$ に減ります。理由は、次の節で見ます。

$\sL$ の次数は、総荷重の中に1回、3つ目のかたまりに3回で、合わせて4回です。だから $\sL^4$ になります。

「8」の出どころ　曲がりを、先端から見る

前の単元では、先端のたわみを、シーソーの形の足し算で出しました。

$$\sdelta = \bigl(\text{曲がり具合のグラフの面積}\bigr) \times \bigl(\text{その図心から先端までの距離}\bigr)$$

同じ手順を、広げた荷重に当てはめます。

1. 根元の曲げモーメント。根元で切って、先の部分をシーソーと見ます。広げた荷重は、その真ん中に1点でかかると見てよいのでした（図心の単元の、板の重さ）。総荷重 $\sW$ が、壁から $\sL/2$ のところにかかります。

$$\sMmax = \sW \times \dfrac{\sL}{2} = \dfrac{\sw\,\sL^2}{2}$$

先端の1点なら $\sW \times \sL$ でした。距離が半分なので、根元の曲げモーメントも半分です。

2. 曲がり具合のグラフの形。途中の位置で切っても、同じです。先端から距離 $u$ のところでは、荷重 $\sw u$ が、$u/2$ のところにかかります。曲げモーメントは $\sw u^2/2$ で、距離の2乗で増えます。

だから、曲がり具合のグラフは、三角形ではなく、内側にへこんだ曲線になります。先端の近くでは、ほとんど曲がっていません。

3. 面積と図心。このへこんだ曲線の下の面積は、同じ底辺・高さの長方形の 1/3 です（三角形なら 1/2 でした）。図心は、根元から $\sL/4$、先端からは $3\sL/4$ のところです。どちらも、下の「式の導き方」で、帯を足して確かめます。

4. 掛ける。総荷重 $\sW$ をそろえて、2つの荷重のかけ方を並べます。

$$\sdelta = \underbrace{\dfrac{1}{3} \times \sL \times \dfrac{\sw\,\sL^2}{2\,\sE\,\sI}}_{\text{面積}} \times \underbrace{\dfrac{3\,\sL}{4}}_{\text{図心から先端まで}} = \dfrac{\sw\,\sL^4}{8\,\sE\,\sI}$$

8 は、「根元の曲げモーメントが半分」と「曲がりが根元に寄って、面積が小さい」から出てくる数です。1/8 を 1/3 でわると、3/8。これが、先端の1点に集めたときとの比です。

先端の1点にかけたときと比べる

庇の骨組み（幅 30 mm、高さ 60 mm の鋼、長さ 1,000 mm、総荷重 3,000 N）で、数を入れます。まず、広げた雪です。

$$\sdelta = \dfrac{\sw\,\sL^4}{8\,\sE\,\sI} = \dfrac{3 \times 1000^4}{8 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 3.37\ \mathrm{mm}$$

同じ 3,000 N が先端の1点にかかると、前の単元の式で 8.99 mm です。

たわみは 3/8 倍、応力は半分です。逆に言うと、同じ荷重を先端の1点に集めると、たわみは 8/3 ≒ 2.67 倍、根元の応力は2倍になります。

応力が半分なのは、根元の曲げモーメントが半分だからです。

全体に広げた場合は、根元のそばだけが大きく、先に行くほどすぐ小さくなります。真ん中では、根元の 1/4 しかありません。

自分の重さで曲がる

張り出した部分自身の重さも、全体に均等にかかる荷重です。長さが2倍になると、荷重の総量も2倍、$\sL^3$ の部分が8倍で、たわみは 2 × 2³ = 16倍（長さの4乗）です。

鋼の角棒（30 × 60 mm）が、壁から 2 m 突き出すと、自重だけで先端が約 2.5 mm、4 m 突き出すと約 40 mm 下がります。

どの数字がいちばん効く？

高さ・幅・材料の硬さ・荷重の効き方は、片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） の表と同じです（高さ10%で −25%、ほかは ±9〜10%）。この単元で新しいのは、長さの行です。

長さは、$\sw$ を同じにするか、総荷重を同じにするかで、効き方が変わります。$\sw$ が同じなら、長くしたぶん荷重も増えるので、4乗です。総荷重が同じなら、3乗です。

庇に戻る

最初の問いに戻ります。長さ 1,000 mm の鋼の角棒に、3,000 N の雪が均等に積もると、先端は 3.37 mm 下がります。

同じ雪が、吹きだまりで先端に寄っていたら、8.99 mm です。根元の曲げ応力も、83.3 MPa から 167 MPa に倍増します。庇の計算で、雪が均等に積もるとしてよいか、片寄るとして見るかは、大きな違いになります。

ちなみに、同じ棒を両端で支えて使うと、広げた荷重でのたわみは 0.351 mm で、片持ちの約 1/9.6 になります（式は 単純支持ばりのたわみ（等分布荷重） の単元で出します）。

11/128 は、前の単元の道具で出せます。荷重の位置までを、長さ $\sL/4$ の片持ちばりと見ます。その先は曲がっていないので、まっすぐのまま、荷重の位置の傾きで先端まで伸びます。くわしい計算は、下の「式の導き方」にあります。

動かしてみよう

盤の上の「荷重のかけ方」で、同じ合計を先端の1点にを選ぶと、3,000 N を先端に集めたときのたわみになります。3.37 mm が何 mm になるか、先に予想してから押してください。

次に「全体に均等」に戻して、総荷重（$\sw$ × $\sL$）が同じまま、長さだけを2倍にしてみてください。$\sw$ を半分にして長さを2倍にすると、たわみは何倍になるでしょうか。

「1点の位置を動かす」を選ぶと、同じ合計を、壁から位置 $a$ の1点に置けます。先端から壁のほうへ動かして、たわみと根元の応力の減り方を見てください。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1荷重のかけ方を「同じ合計を先端の1点に」にする（3,000 N を先端に集める）（まだ）
2. 2「全体に均等」に戻して、長さ L を2倍の 2,000 mm にする（w は 3 N/mm のまま）（まだ）
3. 3「1点の位置を動かす」にして、位置 a を壁から 250 mm（長さの 1/4）にする（まだ）

荷荷重のかけ方

全体に均等同じ合計を先端の1点に1点の位置を動かす

a壁から荷重までの距離−mm＋

w等分布荷重（長さ1 mm あたり）−N/mm＋

Lはりの長さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる先端のたわみは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

たわみの描き方いまの倍率　×9

倍率を固定実寸

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×9 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\delta} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{8\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}$$$$= \dfrac{3 \times 1{,}000^4}{8 \times 206{,}000 \times 540{,}000}$$$$= 3.371\ \mathrm{mm}$$

先端のたわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta} = 3.371\ \mathrm{mm}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 83.33\ \mathrm{MPa}$

総荷重

$\htmlClass{q-force}{W} = 3{,}000\ \mathrm{N}$

最大曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = 1{,}500{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$

先端のたわみ角

$\htmlClass{q-displacement}{\theta} = 0.004495\ \mathrm{rad}$

ほかの値（3 個）

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$

支点の反力

$\htmlClass{q-force}{R} = 3{,}000\ \mathrm{N}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$

途中の計算（導出）を見る

1. 断面二次モーメント（長方形断面）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 60^3}{12} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

2. 総荷重（単位長さあたりの荷重 × 長さ）

   $$\htmlClass{q-force}{W} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 3 \times 1{,}000 = 3{,}000\ \mathrm{N}$$

3. 固定端の反力（壁が、総荷重を全部受け止める）

   $$\htmlClass{q-force}{R} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 3 \times 1{,}000 = 3{,}000\ \mathrm{N}$$

4. 最大曲げモーメント（固定端）

   $$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{2} = \dfrac{3 \times 1{,}000^2}{2} = 1{,}500{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

5. 先端のたわみ

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{8\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{3 \times 1{,}000^4}{8 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 3.371\ \mathrm{mm}$$

6. 先端のたわみ角

   $$\htmlClass{q-displacement}{\theta} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{6\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{3 \times 1{,}000^3}{6 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 0.004495\ \mathrm{rad}$$

7. 最大曲げ応力（固定端の上下の面）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{1{,}500{,}000}{18{,}000} = 83.33\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「広げてかけると、たわみは半分になる」

半分になるのは、根元の曲げモーメント（と、曲げ応力）です。たわみは、半分よりさらに小さい 3/8 倍になります。曲がりが根元に寄るぶん、もう一段減ります。

「総荷重が同じなら、広げても集めても同じ」

同じ重さでも、たわみで 2.67 倍、応力で 2 倍違います。重さが「どこにあるか」が効きます。

「壁は、荷重の半分だけ支えている」

壁は、総荷重 $\sw\,\sL$ の全部を支えます。そのうえ、根元を曲げようとする曲げモーメント（$\sw\,\sL^2/2$）も、壁が受け止めています。両端を支える単純支持ばりなら、支える力は半分ずつです。片持ちでは、全部が壁にかかります。

この公式が使える条件

• 荷重が、壁から先端まで、全長に均等にかかる
• たわみが、はりの長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）
• 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• はりの太さは、根元から先端まで同じ（自重を荷重に含めるときは、その自重も均等にかかる）
• 壁は、はりを完全に固定していて、根元で傾かない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

面積 1/3 と図心 3/4 を、帯で確かめる：先端からの距離を、長さ $\sL$ を 1 とした割合 $u$ で表すと、曲がり具合のグラフの高さは $u^2$ に比例します（根元で 1）。

グラフを縦に4本の帯に切り、帯の真ん中（$u$ = 1/8、3/8、5/8、7/8）の高さで面積を足します。

$$\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1 + 9 + 25 + 49}{64} = \dfrac{84}{256} \approx 0.328$$

1/3（0.333）に近い値です。帯を細かくするほど、1/3 に近づきます。断面二次モーメントの 1/12 が、帯を細かく足した行き着く先だったのと同じです。

「面積 × 先端からの距離」も同じように足すと、$\tfrac{1}{4}\times\tfrac{1 + 27 + 125 + 343}{512} \approx 0.242$ で、行き着く先は 1/4 です。図心の位置は、図心の単元の割り算で、$(1/4) \div (1/3) = 3/4$。先端から $3\sL/4$ です。

積分で出す：出発点の式 $\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ は、たわみの微分方程式と積分法 で出しました。壁からの位置を $\sx$ とします。位置 $\sx$ より先にある荷重は $\sw\,(\sL - \sx)$ で、その真ん中は $(\sL - \sx)/2$ だけ先にあるので、位置 $\sx$ の曲げモーメントの大きさは

$$\dfrac{\sw\,(\sL - \sx)^2}{2}$$

です（棒は上に凸に曲がるので、符号はマイナス）。下向きのたわみを $\sv$ とすると、

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d^2\sv}{d\sx^2} = \dfrac{\sw\,(\sL - \sx)^2}{2}$$

1回積分すると、

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d\sv}{d\sx} = \dfrac{\sw}{2}\left(\sL^2\,\sx - \sL\,\sx^2 + \dfrac{\sx^3}{3}\right) + C_1$$

壁（$\sx = 0$）では傾きが 0 なので $C_1 = 0$。もう1回積分して、壁で $\sv = 0$ とすると、

$$\sv(\sx) = \dfrac{\sw\,\sx^2\,(6\sL^2 - 4\sL\,\sx + \sx^2)}{24\,\sE\,\sI}$$

先端 $\sx = \sL$ を入れると、

$$\sdelta = \dfrac{\sw\,\sL^2\cdot 3\sL^2}{24\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sw\,\sL^4}{8\,\sE\,\sI}$$

です。先端の傾きは、$d\sv/d\sx$ に $\sx = \sL$ を入れて、$\stheta = \sw\,\sL^3/(6\,\sE\,\sI)$ です。これは、曲がり具合のグラフの面積 $\tfrac13 \times \sL \times \sw\sL^2/(2\sE\sI)$ と同じです。

植木鉢の 11/128：壁から $a$ の位置に荷重 $\sP$ を置きます。その位置までは、長さ $a$ の片持ちばりで、下がりは $\sP a^3/(3\sE\sI)$、傾きは $\sP a^2/(2\sE\sI)$ です（前の単元）。その先は曲がらないので、先端はさらに「傾き × 残りの長さ $(\sL - a)$」だけ下がります。$a = \sL/4$ なら、

$$\dfrac{\sP}{\sE\sI}\left(\dfrac{a^3}{3} + \dfrac{a^2}{2}\cdot 3a\right) = \dfrac{\sP}{\sE\sI}\cdot\dfrac{11\,a^3}{6} = \dfrac{11}{128}\cdot\dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI}$$

先端に置いたときの 11/128 です。