同じ管・同じ速さでも、水は乱れ、ハチミツは乱れない粘性とレイノルズ数（層流と乱流）

ハチミツと水は、流れ方が違う

スプーンからハチミツを垂らすと、なめらかな1本の帯になって、ゆっくり落ちます。帯の表面はつるりとしていて、乱れません。

蛇口から勢いよく出した水は、表面が白くにごり、ばしゃばしゃと乱れて落ちます。

ところが、同じ蛇口でも、ほんの少しだけ開くと、水はガラス棒のように透きとおった、まっすぐな流れになります。少しずつ開いていくと、ある所で急に、表面がざらざらに乱れます。

流れが、なめらかにそろって進むか、渦を巻いて乱れるか。それを決めるのは、ねばりけと、速さと、管の太さの3つです。

公式はこれ

$$\sryRe = \dfrac{\srnV\,\sryD}{\sryNu}$$

1.13 m/s は、連続の式（流量は変わらない） で使った、内径 15 mm のホースに毎分 12 L 流したときの速さです。

$$\sryRe = \dfrac{1.13 \times 0.015}{1.004 \times 10^{-6}} = 16{,}900$$

この数が約 2300 より小さければ層流、大きければ乱流です（目安）。16,900 は 2300 の7倍ほどなので、ホースの中の水は乱流で流れています。

1883年に、イギリスのオズボーン・レイノルズが、ガラス管の水に色水を細く流し込む実験で、この数で流れ方が分かれることを示しました。そのため、レイノルズ数と呼ばれます。

層流と乱流

層流は、流れが薄い層に分かれて、となりの層と混ざらずに、すべるように進む流れです。色水を流し込むと、1本の細い線のまま流れていきます。

乱流は、大小の渦がたえずできては消える流れです。色水は、すぐにちぎれて、管いっぱいに広がります。

線香の煙を見ると、両方が一度に見られます。線香の先から立ちのぼる煙は、はじめはまっすぐな細い筋（層流）です。上へ行くにつれて速くなり、ある高さで急に、くねくねと乱れて広がります（乱流）。

速さの分布の形が違う

管の中の流れは、どこでも同じ速さではありません。壁にふれている所の流体は、壁に止められて、速さが 0 です。中心へ行くほど速くなります。

• 層流では、壁の近くの遅い層と、中心の速い層が混ざらないので、速さの分布はとがった放物線になります。中心の速さは、平均のちょうど2倍です。
• 乱流では、渦が、中心の速い流体と壁の近くの遅い流体をかき混ぜます。速さがならされて、分布は平らな形になります。中心の速さは、平均の約 1.22 倍です（目安。Re で少し変わります）。

ホースの水（平均 1.13 m/s）なら、中心は 1.38 m/s です。同じ平均の速さで層流だったら、中心は 2.26 m/s になります。

動粘度で比べる

ねばりけ（粘度）と、動粘度

流体のねばりけの強さを粘度 $\sryMu$ [Pa·s] といいます。となりの層どうしが、ずれるのを引き止める強さです。

乱れやすさに効くのは、粘度を密度で割った動粘度 $\sryNu = \sryMu/\sryRho$ です。重い流体は、同じ粘度でも、勢いがついて止まりにくいからです。

予想してから読む同じ管（内径 15 mm）に、同じ速さ（1.13 m/s）で、水と空気を流す。乱れやすいのはどっち？

A水B空気C同じ

同じ管（内径 15 mm）・同じ速さ（1.13 m/s）で、流体だけを替えると、次のようになります。

ハチミツの値は目安です。20℃ の粘度は、花の種類や水分で 7〜30 Pa·s ほどの幅があり、温度が 10℃ 上がると、3分の1 ほどに下がります。作動油の VG32 は、40℃ で動粘度が 32 mm²/s になるように作られた油の呼び名です。

ハチミツの Re は、水の約 7000 分の1。同じ管・同じ速さでも、ハチミツは、とても乱れにくいのです。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\sryRe = \dfrac{\underbrace{\srnV}_{\text{速さ}}\ \underbrace{\sryD}_{\text{太さ}}}{\underbrace{\sryNu}_{\text{ねばりけ}}}$$

1. 速さ $\srnV$　速い流れほど、勢いがついて、乱れが起きやすくなります。
2. 太さ $\sryD$　太い管ほど、壁から遠い所の流体が、壁に引き止められにくくなります。
3. ねばりけ $\sryNu$　分母にあります。ねばりけは、生まれかけた乱れを、となりの層との引き止め合いでならしてしまいます。

上の2つ（速さ × 太さ）が乱れを大きくする側、下の1つが乱れを抑える側です。Re は、その比べっこの答えです。単位は、m/s × m ÷ m²/s で、すべて消えます。

どの数字がいちばん効く？

ホースの水（1.13 m/s・15 mm）から、1つずつ変えたときの Re の変化です。

速さや太さを少し変えても、Re は同じ割合でしか変わりません。流れ方を大きく変えるのは、流体の種類（動粘度）です。

ハチミツと水に戻る

スプーンのハチミツがなめらかな帯になるのは、Re がとても小さいからです。ホースと同じ太さ・同じ速さでも 2.4 で、境目の 2300 には、まったく届きません。

蛇口の水は、内径 15 mm の管なら、0.154 m/s（毎分 1.63 L）より遅ければ層流です（目安）。ほんの少しだけ開いた蛇口の、透きとおった水の柱がそれです。開いて速くすると、Re が 2300 を越えたあたりで、急に乱れます。

動かしてみよう

はじめは、ホースの水（1.13 m/s・内径 15 mm）です。下の目盛りの点は、乱流の側の 16,900 にあります。管の中の矢印は、平らな乱流の形です。

流体のボタンを、ハチミツ・作動油・空気に替えてみてください。点が目盛りの上を大きく動き、矢印の形が、とがった放物線に替わります。右のインクの筋も、揺れて広がる流れから、まっすぐな流れに変わります（揺れ方は模式です）。

速さ $\srnV$ を下げていくと、水でも、0.154 m/s より遅くなった所で、層流の形に替わります。「いまの図を残して比べる」を押してから流体を替えると、平均の速さが同じでも、中心の速さが違うのが並べて見られます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1水のまま、平均の流速 v を 0.15 m/s まで下げて、Re の点と、インクの筋・速さの分布がどう変わるか見る（まだ）
2. 2速さ 1.13 m/s・内径 15 mm のまま、流体をハチミツに替えて、Re の点がどこまで動くか見る（まだ）
3. 3流体を作動油に替えて、管の中心の速さを、水のときの 1.38 m/s と比べる（速さ・内径はそのまま）（まだ）

ν流体（動粘度 ν が決まる）

水作動油ハチミツ空気

v管の中の平均の流速−m/s＋

D管の内径−mm＋

❚❚ 止める↺ はじめからふつうふつうゆっくりゆっくりとてもゆっくりとてもゆっくりt = 0.00 s

いまの図を残して比べる

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-material}{Re} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v}\,\htmlClass{q-geometry}{D}}{\htmlClass{q-material}{\nu}}$$$$= \dfrac{1.13 \times 0.015}{1.004\times 10^{-6}}$$$$= 16{,}900$$

レイノルズ数

$\htmlClass{q-material}{Re} = 16{,}900\$

管の中心の流速

$\htmlClass{q-displacement}{v_{\mathrm{c}}} = 1.38\ \mathrm{m/s}$

層流でいられる速さの目安（Re = 2300 のとき）

$\htmlClass{q-displacement}{v_{\mathrm{cr}}} = 0.154\ \mathrm{m/s}$

動粘度

$\htmlClass{q-material}{\nu} = 1\ \mathrm{mm^2/s}$

粘度

$\htmlClass{q-material}{\mu} = 1\ \mathrm{mPa\cdot s}$

途中の計算（導出）を見る

1. 動粘度（ねばりけ ÷ 密度）。水（20℃）

   $$\htmlClass{q-material}{\nu} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{\mu}}{\htmlClass{q-material}{\rho}} = \dfrac{0.001\ \mathrm{Pa\cdot s}}{998.2\ \mathrm{kg/m^3}} = 1\ \mathrm{mm^2/s}$$

2. レイノルズ数（速さ × 内径 ÷ 動粘度）

   $$\htmlClass{q-material}{Re} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v}\,\htmlClass{q-geometry}{D}}{\htmlClass{q-material}{\nu}} = \dfrac{1.13 \times 0.015}{1.004\times 10^{-6}} = 16{,}900$$

3. 層流か乱流か（境目の目安 2300。2300〜4000 はどちらにもなる）

   $$\htmlClass{q-material}{Re}\ \text{と}\ 2300 = 16{,}900\ \geq\ 2300 = \text{乱流}$$

4. 管の中心の速さ（乱流：平均の約 1.22 倍。目安）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v_{\mathrm{c}}} = 1.22\,\htmlClass{q-displacement}{v} = 1.22 \times 1.13 = 1.38\ \mathrm{m/s}$$

5. この流体・この管で、層流でいられる速さの目安（Re が 2300 になる速さ）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{2300\,\htmlClass{q-material}{\nu}}{\htmlClass{q-geometry}{D}} = \dfrac{2300 \times 1.004\times 10^{-6}}{0.015} = 0.154\ \mathrm{m/s}$$

よくある勘違い

「空気はさらさらだから、水より乱れやすい」

空気の粘度は、水の約 55 分の1 です。でも、密度は約 830 分の1 なので、動粘度は水の約15倍になります。同じ管・同じ速さなら、空気の Re は水の15分の1 です。

乱れやすさを比べるときは、粘度 $\sryMu$ ではなく、動粘度 $\sryNu$ で比べます。

「遅い流れが層流、速い流れが乱流」

速さだけでは決まりません。速さが 1 m/s を越えたら乱流のような決まりはありません。同じ 1.13 m/s でも、水は乱流、ハチミツは層流です。同じ水でも、太い管ほど、遅い速さで乱流になります。決めるのは、速さ × 太さ ÷ 動粘度の Re です。

「2300 をこえた瞬間に、必ず乱流になる」

2300 は目安です。管の入口をなめらかにして、ゆれを抑えると、もっと大きな Re まで層流のままのことがあります。逆に、Re が 2000 くらいより下では、途中で乱れが入っても、流れはやがて層流に戻ります。おおむね 4000 をこえると、乱流と考えてよい流れになります。

この公式が使える条件

• 断面が円の、まっすぐな管の中の流れ（ほかの形では、境目の数が変わる）
• 管の入口から十分離れて、速さの分布が落ち着いた所
• 流体が、水・油・空気のように、ねばりけが流れの速さで変わらないもの（ハチミツはおおむねそうみなせる。マヨネーズのようなものは別）
• 境目の 2300 は目安。2300〜4000 は、どちらにもなる幅

式の出どころ（くわしく知りたい人へ）

Re は、2つの働きの比です。流れの中の小さなかたまりについて、1 m³ あたりで比べます。

• 勢い（慣性）の大きさ：速さの分 $\sryRho\srnV^2$ の大きさ（ベルヌーイの定理 の財布の、速さの分と同じ形）
• ねばりけで引き止める大きさ：粘度 × 速さの変わり方 $\sryMu\srnV/\sryD$

割ると、

$$\dfrac{\sryRho\srnV^2}{\sryMu\srnV/\sryD} = \dfrac{\sryRho\srnV\sryD}{\sryMu} = \dfrac{\srnV\sryD}{\sryNu}$$

$\srnV$ が1つ消え、$\sryMu/\sryRho$ が動粘度 $\sryNu$ にまとまります。勢いがねばりけに勝つほど、Re は大きくなります。

層流の中心が平均の2倍になる理由：層流の速さの分布は、中心からの距離を $r$、管の半径を $R$ とすると、放物線 $u = u_c\,(1 - r^2/R^2)$ になります。半径 $r$ の細い輪（面積 $2\pi r\,dr$）ごとに流量を足すと、

$$\sryQ = \int_0^R u_c\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right) 2\pi r\,dr = u_c \cdot \dfrac{\pi R^2}{2}$$

平均の速さは $\sryQ/(\pi R^2) = u_c/2$。だから中心は平均の2倍です。

乱流の 1.22 倍：乱流の分布は、目安として $u = u_c\,(1 - r/R)^{1/7}$（7分の1乗の分布）で表せます。同じように輪ごとに足すと、平均は中心の 98/120 になり、中心は平均の 120/98 ≒ 1.22 倍です。