出口を4分の1にすると、4倍遠くへ飛ぶ連続の式（流量は変わらない）

ホースの先をつまむと、なぜ遠くまで飛ぶ？

庭で水まきをするとき、ホースの先を指でつぶすと、水が勢いよく遠くまで飛びます。蛇口は、少しもひねっていません。指でつぶしただけで、水が速くなるのはなぜでしょうか。

家の蛇口からは、毎分どれくらいの水が出るのでしょうか。東京都水道局の資料では、口径 13 mm の蛇口を、水圧 0.1 MPa でハンドルを 90度開くと、1分間に約 12 L 流れるとしています（水圧や蛇口の種類、開き方で変わります）。庭のホースの内径は、12〜15 mm くらいのものが売られています。

ここでは、内径 15 mm のホースに、毎分 12 L の水が流れているとします。

予想してから読むホースの出口を、指で4分の1の面積につぶした。高さ 1 m から横に飛ばした水が届く距離は、つぶす前の何倍になる？

A変わらないB2倍C4倍D16倍

公式はこれ

$$\sryQ = \sryA\,\sryV$$

1秒のあいだに、水は 1.13 m 進みます。断面積 177 mm² の水の柱が 1.13 m 進むので、1秒に通る体積は 177 × 10⁻⁶ m² × 1.13 m ＝ 0.2 × 10⁻³ m³、つまり 0.2 L。毎分 12 L です。

人の流れで考える

駅の広い通路から、狭い改札へ人が流れ込む場面を考えます。広い通路には人が4列で並んで、ゆっくり歩いています。改札は1列しか通れません。

前の人との間隔が同じなら、改札では、広い通路の4倍の速さで歩かないと、後ろの人が詰まってしまいます。1秒に通る人数は、広い所でも狭い所でも同じだからです。

水も同じです。ホースのどこでも、毎秒通る水の量は同じです。通り道が狭い所では、水は速く流れます。

ただし、人と水には違いが1つあります。人は詰まると、間隔を縮めて押し合えます。水は、押してもほとんど縮みません。だから水では、入った量と出た量が、いつもぴったり同じになります。

入った量 ＝ 出た量

ホースの途中で水が増えたり、減ったりはしません。もし、入る量より出る量が少なければ、ホースの中に水がたまり続けて、ホースがふくらんでいくはずです。

ホースの中（場所 1）と、出口（場所 2）で、流量は同じです。

$$\sryA_1\,\sryV_1 = \sryA_2\,\sryV_2$$

これを連続の式といいます。断面積が小さい所ほど、流速が大きくなります。

つぶすと、速くなる

出口を指でつぶして、面積をホースの $\srzR$ 倍にします。連続の式から、出口の速さは、

$$\srzVTwo = \dfrac{\srzAOne}{\srzATwo}\,\srzVOne = \dfrac{\srzVOne}{\srzR}$$

4分の1につぶすと（$\srzR = 0.25$）、

$$\srzVTwo = \dfrac{1.13}{0.25} = 4.53\ \mathrm{m/s}$$

ホースの中の4倍の速さです。それでも、出口から出る水の量は、毎分 12 L のままです。

届く距離は、速さに比例

出口を高さ 1 m に構えて、水を真横に飛ばします。水は横へ進みながら、落ちていきます。落ちる速さは横の速さに関係なく、床まで 1 m 落ちるのにかかる時間は、いつも同じです。

$$t = \sqrt{\dfrac{2\,\srzY}{\sryG}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1}{9.807}} = 0.452\ \mathrm{s}$$

この 0.452 秒のあいだに、水は横へ $\srzVTwo$ で進みます。

面積を半分にすると距離は2倍、4分の1にすると4倍。届く距離は、出る速さに比例します。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\underbrace{\sryV}_{\text{流れる速さ}} = \dfrac{\overbrace{\sryQ}^{\text{入ってくる量}}}{\underbrace{\sryA}_{\text{通り道の広さ}}}$$

1. 入ってくる量 $\sryQ$　蛇口の開き方で決まります。ホースの途中や出口では、変えられません。
2. 通り道の広さ $\sryA$　ホースの太さや、出口のつぶし具合で決まります。内径の2乗に比例するので、内径を2倍にすると、面積は4倍です。
3. 流れる速さ $\sryV$　上の2つで決まる結果です。同じ量を狭い所に通すほど、速くなります。

どの数字がいちばん効く？

毎分 12 L・内径 15 mm・出口 100%・高さ 1 m から、それぞれの数字を 10% 変えたとき、届く距離がどう変わるかを並べます。

いちばん効くのは、通り道の太さです。高く構えても、思ったほどは遠くへ飛びません。

ホースに戻る

ホースの先をつぶすと遠くまで飛ぶのは、蛇口から来る水の量が同じまま、出口が狭くなったからです。同じ量を狭い出口から出すには、速く流れるしかありません。

この決まりは、ホースの外でも見られます。川は、川幅の狭い所や浅い所で、流れが速くなります。

散水ノズルの「ジェット」と「シャワー」の切り替えも、出口の面積の使い分けです。シャワーは小さな穴をたくさん並べて、水を広く散らします。

動かしてみよう

はじめは、内径 15 mm のホースに毎分 12 L、出口はつぶしていません。出口の面積の割合 $\srzR$ を小さくしていくと、出口の青い矢印が伸び、水が遠くへ届くようになります。ホースの中の矢印の長さは変わりません。

図の上の「入った量 ＝ 出た量」の2行は、どれだけつぶしても、同じ数字のままです。

ホースの内径 $\srzD$ を太くすると、ホースの中の流れが遅くなります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1つぶさずに（100%）、ホースの内径 D を2倍の 30 mm にして、ホースの中の流速 v₁ と、出口から出る流量を見る（毎分 12 L のまま）（まだ）
2. 2内径 15 mm のまま、出口の面積の割合 r を 25%（4分の1）までつぶして、出口から出る速さ v₂ を見る（まだ）
3. 3出口の面積の割合 r を 50%（半分）にして、高さ 1 m から届く距離 x を、つぶさないときの 0.511 m と比べる（まだ）

r出口の面積の割合（つぶし具合）−%＋

Q蛇口から入る流量−L/min＋

Dホースの内径−mm＋

y出口の高さ−m＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる出口から出る速さは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{v_2} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\htmlClass{q-geometry}{A_2}} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v_1}}{\htmlClass{q-geometry}{r}}$$$$= \dfrac{1.13}{1}$$$$= 1.13\ \mathrm{m/s}$$

出口から出る速さ

$\htmlClass{q-displacement}{v_2} = 1.13\ \mathrm{m/s}$

届く距離

$\htmlClass{q-displacement}{x} = 0.511\ \mathrm{m}$

ホースの中の流速

$\htmlClass{q-displacement}{v_1} = 1.13\ \mathrm{m/s}$

ホースの断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A_1} = 177\ \mathrm{mm^2}$

出口の断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A_2} = 177\ \mathrm{mm^2}$

出口から出る流量

$\htmlClass{q-displacement}{Q_2} = 12\ \mathrm{L/min}$

途中の計算（導出）を見る

1. ホースの断面積

   $$\htmlClass{q-geometry}{A_1} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{D}^2}{4} = \dfrac{\pi \times 15^2}{4} = 177\ \mathrm{mm^2}$$

2. ホースの中の流速（毎秒通る体積 ÷ 断面積）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v_1} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\htmlClass{q-geometry}{A_1}} = \dfrac{12 / 60 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3/s}}{177 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}} = 1.13\ \mathrm{m/s}$$

3. 出口の断面積（指でつぶして、ホースの r 倍にする）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A_2} = \htmlClass{q-geometry}{r}\,\htmlClass{q-geometry}{A_1} = 1 \times 177 = 177\ \mathrm{mm^2}$$

4. 出口から出る速さ（入った量 ＝ 出た量なので、面積が小さいほど速い）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v_2} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\htmlClass{q-geometry}{A_2}} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v_1}}{\htmlClass{q-geometry}{r}} = \dfrac{1.13}{1} = 1.13\ \mathrm{m/s}$$

5. 届く距離（床まで落ちる時間のあいだ、横へ v₂ で進む）

   $$\htmlClass{q-displacement}{x} = \htmlClass{q-displacement}{v_2}\sqrt{\dfrac{2\,\htmlClass{q-geometry}{y}}{\htmlClass{q-geometry}{g}}} = 1.13 \times \sqrt{\dfrac{2 \times 1}{9.807}} = 1.13 \times 0.452\ \mathrm{s} = 0.511\ \mathrm{m}$$

よくある勘違い

「先をつぶすと、出る水の量が増える」

増えるのは速さで、量ではありません。

バケツを満たす時間は、つぶしても、ほとんど変わりません。

「流量と流速は、同じもの」

流速は、水が 1 秒に進む距離 [m/s] です。流量は、1 秒に通る水の体積 [m³/s] です。同じ流量でも、太い管ではゆっくり、細い管では速く流れます。

「つぶすと、蛇口からの流れも強くなる」

指でつぶしても、蛇口の開き方は変わりません。出口を速く出ていくには、ホースの中の水が、出口の手前で余分に押されている必要があります。その押す力（圧力）と速さの関係は、あとの ベルヌーイの定理 で扱います。4.53 m/s に要る圧力は約 10 kPa で、水道の圧力（上の資料の例で 0.1 MPa ＝ 100 kPa）に比べて小さいので、流量はほとんど変わらないとみなせます（目安）。強くつぶすほど、実際には流量が少しずつ減ります。

この公式が使える条件

• 流体が押し縮められない（水などの液体。空気でも、ゆっくりした流れならよい）
• 流れの様子が時間で変わらない（定常の流れ）
• 途中に、水の出入りする口がない（枝分かれがあれば、出口の量を足し合わせる）
• 流速は、断面の平均の速さ（実際は、管の壁の近くは遅く、真ん中は速い）
• 届く距離の計算では、空気の抵抗を考えない。蛇口から来る流量は、つぶしても変わらないとする

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

流れる質量の勘定：管の、場所 1 と場所 2 の間の水を考えます。短い時間 $\Delta t$ のあいだに、場所 1 から入る水は、断面積 $\sryA_1$、長さ $\sryV_1\Delta t$ の柱なので、質量は $\sryRho_1\sryA_1\sryV_1\Delta t$ です。場所 2 から出る水は $\sryRho_2\sryA_2\sryV_2\Delta t$ です。

流れの様子が変わらないなら、間の水の質量は増えも減りもしません。入った質量 ＝ 出た質量なので、

$$\sryRho_1\sryA_1\sryV_1 = \sryRho_2\sryA_2\sryV_2$$

水は押し縮められないので、$\sryRho_1 = \sryRho_2$。両辺を $\sryRho$ で割ると、

$$\sryA_1\sryV_1 = \sryA_2\sryV_2 = \sryQ$$

届く距離：出口を出た水は、横へは速さ $\srzVTwo$ のまま進み（空気の抵抗なし）、縦には、止まった所から自由に落ちます。高さ $\srzY$ 落ちるまでの時間は $\srzY = \tfrac{1}{2}\sryG t^2$ から

$$t = \sqrt{\dfrac{2\,\srzY}{\sryG}}$$

そのあいだに横へ進む距離は

$$\srzX = \srzVTwo\,t = \srzVTwo\sqrt{\dfrac{2\,\srzY}{\sryG}}$$

$\srzVTwo$ が4倍なら、$\srzX$ も4倍です。