押した仕事は、全部が熱になって出ていく等温変化

注射器の先をふさいで押すと

針を付けていない注射器に、空気を 50 mL 吸いこみます。先を指でふさいで、ピストンを押します。

押しこむほど、手ごたえが重くなります。中に閉じこめた空気が、強く押し返してくるからです。

ゆっくり押すと、空気の温度は、まわりと同じ 20℃ のままです。50 mL を 25 mL まで押したとき、中の圧力はどうなるでしょうか。

予想してから読む101 kPa（絶対圧）の空気 50 mL を、温度を変えずに 25 mL まで押すと、圧力は？

A約 151 kPa（1.5倍）B約 202 kPa（2倍）C約 404 kPa（4倍）

公式はこれ

温度を変えずに起きる変化を等温変化といいます。等温変化では、圧力と体積のかけ算が変わりません（ボイルの法則）。

$$\sntPOne\,\sntVOne = \sntPTwo\,\sntVTwo \qquad\Longrightarrow\qquad \sntPTwo = \sntPOne\,\dfrac{\sntVOne}{\sntVTwo}$$

$101 \times 50 = 5050$、$202 \times 25 = 5050$ です。

これは、気体の状態式（絶対圧と絶対温度） の単元の式 $pV = mRT$ で、質量 $\sntM$ も温度 $\sntT$ も変わらないときの形です。右辺が一定なので、左辺の $pV$ も一定です。

圧力は、いつも絶対圧で入れます。指にかかる力は、中の圧力と、外から押す大気の差で決まります。25 mL のとき、差は 101 kPa です。

押す仕事は、曲線の下の面積

P-V 線図に、押していく途中の圧力をかくと、右下がりの曲線（双曲線）になります。横が体積、縦が圧力で、押すと点は左へ進みながら上がります（読み方は 等容変化と等圧変化（比熱 cv と cp） の単元）。押す仕事は、この曲線の下の面積です。

押しはじめは圧力が低く、軽く押せます。押しこむほど圧力が上がって、同じ 1 mL を押すのに大きな力が要ります。面積を足し合わせると、

$$\stoWin = \sntPOne\,\sntVOne\,\ln \dfrac{\sntVOne}{\sntVTwo} = 101\,000\ \mathrm{Pa} \times 50 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^3} \times \ln 2 = 3.50\ \mathrm{J}$$

$\ln$ は自然対数です。$\ln 2 = 0.693$ です。

体積を半分にするたびに、仕事は同じだけ増えます。

25 mL から 12.5 mL までは、たった 12.5 mL しか動きません。それでも、50 mL から 25 mL までと同じ 3.50 J が要ります。圧力が 2倍になっているからです。

家計簿で読む

熱と仕事（第一法則） の単元で、エネルギーの勘定を家計簿にたとえました。

注射器を押すとき、入ってくるのは、押す仕事 $\stoWin$ です。これが、温度を上げる分（内部エネルギーの増え $\sntDU$）と、外へ出る熱 $\stoQout$ に分かれます。

$$\underbrace{\stoWin}_{\text{押す仕事}} = \underbrace{\sntDU}_{\text{温度を上げる分}} + \underbrace{\stoQout}_{\text{外へ出た熱}}$$

空気の内部エネルギーは、温度だけで決まります。等容変化と等圧変化（比熱 cv と cp）の単元で、$\sntDU = \sntM\,\sntCv\,\Delta T$ と見たとおりです。温度が変わらなければ、$\sntDU = 0$ です。

だから、押した 3.50 J は全部、熱として外へ出ていきます。空気は、もらった仕事を、すぐに熱にして筒の壁と指へ渡しています。

3.50 J は、1 g の水を 0.84 K 温めるくらいの熱です。少しずつ出ていくので、手で触っても温かさはわかりません。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\stoWin = \underbrace{\sntPOne\,\sntVOne}_{\text{初めの空気の大きさ}} \times \underbrace{\ln \sntEps}_{\text{何分の1にしたか}}$$

1. 初めの空気の大きさ $\sntPOne\,\sntVOne$　圧力 × 体積で、単位は J です（Pa × m³ ＝ N/m² × m³ ＝ N·m）。101 kPa × 50 mL は 5.05 J。空気が2倍あれば、仕事も2倍です。
2. 何分の1にしたか $\ln \sntEps$　$\sntEps = \sntVOne/\sntVTwo$ は圧縮比です。$\ln$ は、かけ算の回数を数える数で、2倍で 0.693、4倍で 1.39、8倍で 2.08。半分にするたびに、同じ 0.693 ずつ増えます。

温度は、式に入っていません。冷たい空気でも温かい空気でも、同じ注射器で同じだけ押せば、仕事は同じです。

どの数字がいちばん効く？

初期値（20℃・101 kPa・50 mL を 25 mL に）から、1つずつ 10% 変えたときです。

初めの体積を増やすと、仕事がいちばん増えます。空気が多くなるうえに、同じ 25 mL まで押すので、何分の1にするかも大きくなるからです。

水にもぐると、泡は小さくなる

ボイルの法則は、水の中でも見られます。水は深くなるほど圧力が高く、水深 10 m で約 199 kPa（絶対圧）です。水面の約 2倍です。

ダイバーの吐いた泡は、浅いところへ上がるにつれて、圧力が下がってふくらみます。水温の変わり方が小さければ、体積は圧力にほぼ反比例します（下の例題2）。

注射器に戻る

注射器を押すと重くなるのは、中の圧力が体積に反比例して上がるからです。25 mL では 202 kPa、12.5 mL では 404 kPa になります。

それでも温度が変わらないのは、ゆっくり押しているからです。押した仕事は、そのつど熱になって、筒の壁から出ていきます。

すばやく押すと、熱が出ていくひまがありません。押した仕事が中にたまり、空気の温度が上がります。この変化は、次の断熱変化の単元で扱います。

動かしてみよう

押した後の体積 $\sntVTwo$ のスライダーを左へ動かしてください。ピストンが左へ進み、P-V 線図の点 2 が、薄い破線（同じ温度の線）に沿って左上へ動きます。線の下の紫の面積が、押す仕事です。

温度計の柱は動きません。筒の上に、熱の矢印が増えていきます。下の家計簿の帯は、押す仕事（紫）と同じ長さだけ、外へ出た熱（黄土）が伸びます。

線図の薄い線と面積は、初期値です。「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの線と面積が薄く残り、そのときの答えを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1終わりの体積 V₂ を 10 mL（5分の1）まで押して、圧力を見る（まだ）
2. 2V₂ を 12.5 mL（4分の1）にして、押す仕事（線図の面積）を見る（まだ）
3. 3V₂ を 5 mL（10分の1）まで押し込んで、家計簿の帯と温度計を見る（まだ）

V₂終わりの体積−mL＋

V₁初めの体積−mL＋

p₁初めの圧力（絶対）−kPa＋

いまの図を残して比べる終わりの圧力（絶対）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}\ln \htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}$$$$= 101{,}000\ \mathrm{Pa} \times 5\times 10^{-5}\ \mathrm{m^3} \times \ln 2$$$$= 3.5\ \mathrm{J}$$

終わりの圧力（絶対）

$\htmlClass{q-stress}{p_2} = 202\ \mathrm{kPa}$

圧力が何倍になったか

$\htmlClass{q-stress}{p_2/p_1} = 2\$

押す仕事（気体がされた仕事）

$\htmlClass{q-moment}{W} = 3.5\ \mathrm{J}$

外へ出た熱

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{出}}} = 3.5\ \mathrm{J}$

内部エネルギーの増え

$\htmlClass{q-moment}{\Delta U} = 0\ \mathrm{J}$

気体の質量

$\htmlClass{q-material}{m} = 0.06\ \mathrm{g}$

途中の計算（導出）を見る

1. 中の空気の質量（状態式 pV ＝ mRT から）

   $$\htmlClass{q-material}{m} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-material}{R}\,\htmlClass{q-heat}{T}} = \dfrac{101{,}000\ \mathrm{Pa} \times 5\times 10^{-5}\ \mathrm{m^3}}{287 \times 293.15\ \mathrm{K}} = 0.06\ \mathrm{g}$$

2. 体積を何分の1にしたか（圧縮比）

   $$\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-displacement}{V_2}} = \dfrac{50\ \mathrm{mL}}{25\ \mathrm{mL}} = 2$$

3. 終わりの圧力（pV が一定）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_2} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-displacement}{V_2}} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon} = 101\ \mathrm{kPa} \times 2 = 202\ \mathrm{kPa}\ (2\ \text{倍})$$

4. 押す仕事（P-V 線図の、曲線の下の面積）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}\ln \htmlClass{q-geometry}{\varepsilon} = 101{,}000\ \mathrm{Pa} \times 5\times 10^{-5}\ \mathrm{m^3} \times \ln 2 = 3.5\ \mathrm{J}$$

5. 内部エネルギーの増え（温度が変わらないので 0）

   $$\htmlClass{q-moment}{\Delta U} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_v}\,(T_2 - T_1) = 6\times 10^{-5} \times 717.5 \times 0 = 0\ \mathrm{J}$$

6. 外へ出た熱（家計簿：押す仕事 − ためた分）

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{出}}} = \htmlClass{q-moment}{W} - \htmlClass{q-moment}{\Delta U} = 3.5 - 0 = 3.5\ \mathrm{J}$$

よくある勘違い

「ゲージ圧のまま、体積に反比例させればよい」

ボイルの法則の圧力は、絶対圧です。ゲージ圧（大気圧を 0 とする圧力）のまま比べると、まちがえます。

ふたを閉めたペットボトルを握ると、硬くなります。中の空気が少し縮み、絶対圧が上がったからです。

「温度が変わらないなら、熱の出入りもない」

逆です。温度が変わらないのは、押した仕事と同じだけの熱が、外へ出ていくからです。熱の出入りがないのは、断熱変化のほうです。

「体積を半分にするたびに、仕事も2倍になる」

仕事は、半分にするたびに、同じ 3.50 J ずつ増えます。1/2 で 3.50 J、1/4 で 7.00 J、1/8 で 10.5 J。2倍ずつではなく、足し算で増えます。

この公式が使える条件

• 温度がずっと変わらない（ゆっくり押して、熱がそのつど外へ出る）。すばやく押すと温度が上がるので、使えない
• 気体は理想気体（空気・常温・数 MPa まで）
• 空気がもれない（注射器の先・ピストンのすき間から出ない）
• ピストンの摩擦の熱は入れない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

圧力：状態式 $pV = \sntM \sntR \sntT$ で、$\sntM$・$\sntR$・$\sntT$ が変わらないので、$pV$ は一定です。$\sntPTwo = \sntPOne \sntVOne / \sntVTwo$。

押す仕事：ピストンをわずかに押して、体積が $dV$（押し縮めるので負）だけ変わったとき、押す仕事は $-p\,dV$ です。$p = \sntPOne \sntVOne / V$ を入れて、$\sntVOne$ から $\sntVTwo$ まで足し合わせ（積分し）ます。

$$\stoWin = -\int_{V_1}^{V_2} \dfrac{\sntPOne \sntVOne}{V}\,dV = -\sntPOne \sntVOne\,(\ln \sntVTwo - \ln \sntVOne) = \sntPOne \sntVOne \ln \dfrac{\sntVOne}{\sntVTwo}$$

$1/V$ を足し合わせると $\ln V$ になる、というのが対数の出どころです。

熱：温度が変わらないので $\sntDU = \sntM \sntCv \cdot 0 = 0$。家計簿 $\stoWin = \sntDU + \stoQout$ から、$\stoQout = \stoWin$ です。この単元の注射器では、どちらも 3.50 J です。