歯車の歯は、小さな片持ちばり歯の曲げ強さ（ルイスの式）

減速機の歯は、どこから折れる？

モータは速く回りますが、トルクは小さいものです。そこで、小さい歯車で大きい歯車を回し、回転を遅くして、トルクを大きくします。これが減速機です（歯数比とトルク）。

減速機に無理な力をかけ続けると、いつか歯が欠けます。欠けるのは、たいてい歯の根元からです。プラスチックのくしで、歯の先を指で強く押すと、歯は根元で折れます。歯車の歯も、同じ形で力を受けています。

モータの軸に付いた20歯・歯幅 20 mm の歯車に、20 N·m のトルクがかかります。歯車の材料には、100 MPa までの曲げ応力を許すとします。モジュールは何 mm あれば足りるでしょうか。

その前に、モジュールの効き方を予想してみましょう。

予想してから読む歯数と歯幅を変えずに、モジュール（歯の大きさ）を2倍にします。1枚の歯で伝えられる力は？

A変わらないB2倍C4倍

公式はこれ

$$\slwSigma = \dfrac{\slwF}{\slwB\,\slwM\,\slwY} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \slwFmax = \sksSigmaA\,\slwB\,\slwM\,\slwY$$

歯は片持ちばり

根元を曲げる力

歯車がトルクを伝えるとき、かみ合った歯は、ピッチ円の接線の向きに押し合います。トルク $\sksT$ と、ピッチ円の半径 $\slwD/2$ から、

$$\slwF = \dfrac{\sksT}{\slwD/2} = \dfrac{2\,\sksT}{\slwD}$$

m = 2 mm・20歯なら、ピッチ円の直径は $2 \times 20 = 40\ \mathrm{mm}$ です（モジュールとかみ合い）。歯を押す力は $2 \times 20000\ \mathrm{N\cdot mm} / 40\ \mathrm{mm} = 1000\ \mathrm{N}$ です。

いちばん厳しいのは、この力を、1枚の歯が、歯の先で受けるときです。歯は、根元で歯車の胴につながった、短い片持ちばりです。歯先から根元までの高さを $\slwH$ とすると、根元を曲げる曲げモーメントは $\slwF\,\slwH$ です（片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重））。

根元の応力

根元の断面は、幅 $\slwB$（歯幅）、厚さ $\slwT$ の長方形です。長方形の断面係数は $\slwB\,\slwT^2/6$ なので、根元の縁の曲げ応力は（曲げ応力の式）、

$$\slwSigma = \dfrac{\slwF\,\slwH}{\slwB\,\slwT^2/6} = \dfrac{6\,\slwF\,\slwH}{\slwB\,\slwT^2}$$

高さ $\slwH$ が大きいほど、根元を曲げる効き目が大きくなります。厚さ $\slwT$ は2乗で効き、厚いほど強くなります。

厚さも高さもモジュールに比例する

モジュールが2倍の歯車は、歯の形がそのまま2倍に拡大されたものです。だから、$\slwT$ も $\slwH$ も、モジュールに比例します。$\slwT = c_t\,\slwM$、$\slwH = c_h\,\slwM$ と書いて、上の式に入れます。

$$\slwSigma = \dfrac{6\,\slwF\,c_h \slwM}{\slwB\,c_t^2\,\slwM^2} = \dfrac{\slwF}{\slwB\,\slwM} \times \dfrac{6\,c_h}{c_t^2}$$

$\slwM$ が1つ約分されて、分母に1つ残りました。最後の $6c_h/c_t^2$ は、歯の形だけで決まる数です。その逆数を歯形係数 $\slwY$ と呼びます。

$$\slwY = \dfrac{c_t^2}{6\,c_h} \qquad\Longrightarrow\qquad \slwSigma = \dfrac{\slwF}{\slwB\,\slwM\,\slwY}$$

これがルイスの式です。1892年に、アメリカの技術者ウィルフレッド・ルイスが、歯を「歯先に力を受ける片持ちばり」とみて発表しました。

モジュールを2倍にすると、根元の厚さが2倍で、強さ（断面係数）は4倍になります。でも、高さも2倍になり、根元を曲げる効き目も2倍になります。差し引き、応力は 1/2、伝えられる力は2倍です。

歯形係数は、歯数で決まる

同じモジュールでも、歯数の少ない歯車ほど、歯の根元は細くなります。小さい円の上に歯を並べるので、根元のほうが狭くなるからです。だから、歯形係数 $\slwY$ は、歯数が少ないほど小さくなります。

圧力角 20°・並歯の歯車の値で、機械設計の教科書（Shigley）の表から取りました。歯の根元の丸みの取り方などで、本によって少し違う値の表もあります。表の歯数の間は、直線で補って使います（目安）。

かみ合う大小の歯車には、同じ大きさの力がかかります。20歯と60歯なら、Y は 0.322 と 0.422 で、小さい歯車の歯元の応力は、大きい歯車の 1.31倍です。しかも、小さい歯車は3倍の回数回ります。だから、強さは、小さいほうの歯車で確かめます。

ものさしで確かめる

減速機の小さい歯車（20歯・歯幅 20 mm・20 N·m・許容 100 MPa）で、モジュールを決めます。

まず、必要なモジュールを出します。$\slwF = 2\sksT/(\slwM z)$ をルイスの式に入れ、$\slwSigma = \sksSigmaA$ と置いて $\slwM$ について解きます。

$$\slwMreq = \sqrt{\dfrac{2\,\sksT}{\slwZ\,\slwB\,\sksSigmaA\,\slwY}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 20000}{20 \times 20 \times 100 \times 0.322}} = 1.76\ \mathrm{mm}$$

規格の第1系列（…・1.5・2・2.5・…）で切り上げて、2 mm を選びます。2 mm で確かめます。使う式は $\slwSigma = \slwF/(\slwB\,\slwM\,\slwY)$ です。

$$\slwSigma = \dfrac{1000}{20 \times 2 \times 0.322} = 77.6\ \mathrm{MPa} \;\le\; 100\ \mathrm{MPa}$$

ものさしの目盛り（いまの応力 77.6 MPa）は、許してよい線（100 MPa）の内側にあります。m = 2 mm で足ります。この歯車で伝えられる力は $100 \times 20 \times 2 \times 0.322 = 1288\ \mathrm{N}$ です。

1つ下の 1.5 mm では、ピッチ円が 30 mm に小さくなり、歯を押す力は 1333 N に増えます。応力は 138 MPa で、許容を越えます。

公式を、4つのかたまりに分けて読む

$$\slwFmax = \underbrace{\sksSigmaA}_{\text{材料}} \times \underbrace{\slwB}_{\text{歯の奥行き}} \times \underbrace{\slwM}_{\text{歯の大きさ}} \times \underbrace{\slwY}_{\text{歯の形}}$$

1. 材料 $\sksSigmaA$　強い材料ほど、大きな力を伝えられます。
2. 歯の奥行き $\slwB$　歯幅を2倍にするのは、片持ちばりを2本並べるのと同じです。
3. 歯の大きさ $\slwM$　上で見たとおり、1乗で効きます。
4. 歯の形 $\slwY$　歯数が少ないほど小さく、根元が細いことを表します。

どの数字がいちばん効く？

減速機の小さい歯車（m = 2 mm・20歯・歯幅 20 mm・許容 100 MPa、伝えられる力 1288 N）から、それぞれを変えたときの、伝えられる力の変化です。

歯数を増やしても、強さはあまり変わりません。強さを上げるには、モジュール・歯幅・材料を変えます。

動かしてみよう

使うモジュールは、自分で選びます。トルク・歯数・歯幅・許容曲げ応力を変えると、盤が必要なモジュールを出し、選んだ値で応力を確かめます。足りないと、ものさしが赤くなります。左の図は、いまの歯を同じ縮尺で描いたものです。歯数を 12 にすると、根元が細くなるのが見えます。

トルクを2倍にしても、必要なモジュールは2倍にはなりません。$\slwMreq$ はトルクの平方根で効くからです。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、前の図と並べて比べられます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1トルク T を2倍の 40 N·m にする（モジュール 2 mm のまま）（まだ）
2. 2T = 40 N·m のまま、モジュール m を 2.5 mm にする（まだ）
3. 3T = 20 N·m・m = 2 mm で、歯数 z を 12 にする（まだ）

Tトルク−N·m＋

z小さいほうの歯車の歯数−＋

b歯幅−mm＋

σa許容応力−MPa＋

m使うモジュール

11.251.522.534

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる歯元の曲げ応力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\sigma_b} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{m}\,\htmlClass{q-material}{Y}}$$$$= \dfrac{1{,}000}{20 \times 2 \times 0.322}$$$$= 77.6\ \mathrm{MPa}$$

歯元の曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_b} = 77.6\ \mathrm{MPa}$

必要なモジュール

$\htmlClass{q-geometry}{m_{\mathrm{req}}} = 1.762\ \mathrm{mm}$

足りるいちばん細いモジュール（第1系列）

$\htmlClass{q-geometry}{m_{\min}} = 2\ \mathrm{mm}$

歯形係数

$\htmlClass{q-material}{Y} = 0.322\$

歯を押す力（ピッチ円の上）

$\htmlClass{q-force}{F} = 1{,}000\ \mathrm{N}$

伝えられる力

$\htmlClass{q-force}{F_{\max}} = 1{,}288\ \mathrm{N}$

途中の計算（導出）を見る

1. 歯数から、歯形係数を表で読む

   $$\htmlClass{q-material}{Y} = Y(\htmlClass{q-geometry}{z}) = Y(20) = 0.322$$

2. 許容曲げ応力から、必要なモジュールを出す

   $$\htmlClass{q-geometry}{m_{\mathrm{req}}} = \sqrt{\dfrac{2\,\htmlClass{q-moment}{T}}{\htmlClass{q-geometry}{z}\,\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-stress}{\sigma_a}\,\htmlClass{q-material}{Y}}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 20{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{20 \times 20\ \mathrm{mm} \times 100\ \mathrm{N/mm^2} \times 0.322}} = 1.762\ \mathrm{mm}$$

3. 規格の第1系列で切り上げると、足りるいちばん細いモジュールが出る

   $$\htmlClass{q-geometry}{m_s} \ge \htmlClass{q-geometry}{m_{\mathrm{req}}} = 1.762\ \mathrm{mm}\ \to = 2\ \mathrm{mm}$$

4. 使うモジュールで、歯を押す力を出す

   $$\htmlClass{q-force}{F} = \dfrac{2\,\htmlClass{q-moment}{T}}{\htmlClass{q-geometry}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{z}} = \dfrac{2 \times 20{,}000}{2 \times 20} = 1{,}000\ \mathrm{N}$$

5. 歯元の曲げ応力を確かめる（許容以下なので足りる）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_b} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{m}\,\htmlClass{q-material}{Y}} = \dfrac{1{,}000}{20 \times 2 \times 0.322} = 77.6\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「歯数の多い大きい歯車のほうが、先に折れる」

かみ合う2枚の歯を押す力は同じです。歯数の少ない小さい歯車のほうが、根元が細く（Y が小さく）、応力は大きくなります。20歯と60歯なら 1.31倍です。

「モジュールを2倍にすれば、4倍強くなる」

4倍になるのは断面係数だけです。伝えられる力は2倍です。同じ歯数なら、ピッチ円の直径も2倍になるので、伝えられるトルクは4倍になります。

「歯形係数 Y は、歯の大きさで決まる」

Y は歯の形で決まり、モジュールにはよりません。同じ歯数なら、0.5 mm の歯車も 10 mm の歯車も、Y は同じです。

この公式が使える条件

• 平歯車・圧力角 20°・並歯（Y の表がその形の値）
• 力を、1枚の歯が、歯の先で受ける（実物では、2枚の歯が同時にかみ合う時間もあるので、安全側の見積もり）
• 歯を押す力のうち、歯を曲げる向きの分だけを考える（歯を縦に押し縮める分は無視する）
• ゆっくり回り、衝撃が無い（速く回る・衝撃があるときは、許容応力を下げるか、係数をかける）
• 歯の根元の丸みによる応力集中は、表の Y には入れていない（応力集中）

いちばん弱い断面の見つけ方（くわしく知りたい人へ）

歯の根元は、まっすぐな長方形の棒ではありません。根元へ行くほど太くなっています。では、どの高さの断面が、いちばん大きな応力を受けるのでしょうか。

同じ強さのはり：歯先から $x$ の所の厚さを $t(x)$ とすると、その断面の応力は $6\slwF x/(\slwB\,t^2)$ です。どこでも同じ応力になるのは、$t^2$ が $x$ に比例するとき、つまり、厚さの半分 $y = t/2$ が $y^2 = c\,x$ の放物線のときです。

$$\dfrac{6\slwF x}{\slwB\,(2\sqrt{c\,x})^2} = \dfrac{6\slwF}{4\,\slwB\,c} \quad(x \text{ によらない})$$

ルイスの考え：歯先を頂点にした放物線を、歯の輪郭の内側に、輪郭に接するまでふくらませます。放物線の形の歯なら、どこでも同じ応力です。実際の歯は、接した所以外では放物線より太いので、そこでは応力が小さくなります。だから、いちばん応力が大きいのは、放物線が輪郭に接する断面（危険断面）です。シミュレータの左の図の青い破線が、この放物線です。

危険断面の厚さを $\slwT$、歯先からの高さを $\slwH$ とすると、本文の式から $\slwY = \slwT^2/(6\,\slwH\,\slwM)$ です。表の値は、このようにして歯の形から求めたものです。