板も軸も、じつは1本のばねばねのつなぎ方と、はり・軸のばね定数

板の先のモータは、何回ゆれる？

機械の中では、小さなモータやセンサを、薄い金属の板の先に付けることがよくあります。板の根元だけをねじで留め、先は空中に出ています。

指で板の先をはじくと、モータは上下にゆれます。コイルばねは、どこにもありません。曲がる板そのものが、ばねになっています。

このゆれが速すぎても遅すぎても、困ることがあります。センサなら、ゆれている間は正しく測れません。モータなら、回る速さとゆれの速さが近いと、ゆれが大きくなります（くわしくは 強制振動と共振）。だから、作る前に「何回ゆれるか」を知りたいのです。

この単元では、1つの板とモータで考えます。鋼の板は、幅 30 mm、厚さ 3 mm で、壁から 150 mm 突き出しています。先に、質量 0.5 kg のモータを付けます。

モータは、1秒に何回ゆれるでしょうか。

予想してから読む板を2倍長くすると、モータが1秒にゆれる回数は？

A2分の1B約2.8分の1C8分の1

板は、ばね定数 3EI/L³ のばね

たわみの式を、ばねの式に直す

材料力学の 片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） で、先に荷重 $\sP$ をかけた片持ちばりの、先端のたわみを出しました。

$$\sdelta = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI}$$

ばね定数は「1 だけ動かすのに要る力」、つまり 力 ÷ 動いた量 です。両辺を入れかえて、$\sP$ を $\sdelta$ で割ります。

$$\skrk = \dfrac{\sP}{\sdelta} = \dfrac{3\,\sE\,\sI}{\sL^3}$$

$\sP$ が消えました。荷重を何 N かけても、力と下がり方の比は同じです。だから、板を1本のばねとして扱えます。

3つのかたまりに分けて読む

$$\skrk = \underbrace{3}_{\text{支え方}} \times \underbrace{\sE\,\sI}_{\text{曲がりにくさ}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sL^3}}_{\text{長さで柔らかくなる}}$$

1. 支え方 3　片持ちで、先端に付けたときの数です。たわみの式の 3 が、そのまま来ています。支え方を変えると、この数が変わります（下の表）。
2. 曲がりにくさ $\sE\,\sI$　材料の硬さ $\sE$ と、断面の形の曲がりにくさ $\sI$ の掛け算（曲げ剛性）です。分子にあるので、大きいほど硬いばねです。
3. 長さで柔らかくなる $1/\sL^3$　板が長いと、根元を曲げる力が大きくなり、しかも先端で大きくずれます。合わせて3乗です。

数で確かめる

まず、板の断面二次モーメントです。

$$\sI = \dfrac{\sb\,\sh^3}{12} = \dfrac{30 \times 3^3}{12} = 67.5\ \mathrm{mm^4}$$

ばね定数は、長さを mm で入れると N/mm で出ます。1 m は 1,000 mm なので、1,000 倍して N/m に直します。

$$\skrk = \dfrac{3\,\sE\,\sI}{\sL^3} = \dfrac{3 \times 206{,}000 \times 67.5}{150^3} = 12.36\ \mathrm{N/mm} = 12{,}360\ \mathrm{N/m}$$

1自由度の自由振動（ばねと質量） の固有振動数の式に入れます。綱引きの、戻そうとする側が板、動き続けようとする側がモータです。

$$\skrFn = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\skrk}{\skrm}} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{12{,}360}{0.5}} = 25.0\ \mathrm{Hz}$$

答えは、1秒に 25.0 回です。

自重で下がる量からも、確かめられます。モータの重さで、先端は $0.5 \times 9.81 / 12{,}360 = 0.000397\ \mathrm{m}$、つまり 0.397 mm 下がります。

$$\skrFn = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\skrG}{\skrDst}} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{9.81}{0.000397}} = 25.0\ \mathrm{Hz}$$

長さを2倍にすると

板を2倍の 300 mm にします。ばね定数は $\sL^3$ に反比例するので、$2^3 = 8$ で割ります。

$$\skrk = \dfrac{12{,}360}{8} = 1{,}545\ \mathrm{N/m}$$

振動数は、ばね定数の √ で効きます。

$$\dfrac{1}{\sqrt{8}} = \dfrac{1}{2.83}, \qquad \skrFn = \dfrac{25.02}{2.828} = 8.85\ \mathrm{Hz}$$

長さを2倍にすると、振動数は約2.8分の1です。

机の端に定規を押さえて、先をはじいてみてください。はみ出させる長さを短くするほど、ゆれは速くなり、「ビーン」という音も高くなります。長くすると、ゆっくり大きくゆれます。

支え方で、ばね定数は変わる

同じ板でも、どう支えて、どこにモータを付けるかで、ばね定数が変わります。材料力学で出した式を、力 ÷ 動いた量 に直すと、次のようになります。

両端で支えると、ばね定数は16倍です。振動数は √16 = 4倍の、100 Hz になります。真ん中から片側を見ると、長さが半分の片持ちばりが、荷重の半分を受ける形になるからです。荷重が半分で2倍、長さが半分で 2³ = 8倍、合わせて 2 × 8 = 16倍です（単純支持ばりのたわみの単元で見た、48 = 3 × 2 × 8 の出どころ）。

板を長さの向きに引っぱるときは、断面積 $\sA = 30 \times 3 = 90\ \mathrm{mm^2}$ を使います。曲げるときの1万倍も硬いばねです。同じ板でも、曲げる向きには、とても柔らかいのです。

軸をねじる向きにも、ばね定数があります。材料力学の 丸軸のねじり の式を、ねじる力の効き目 ÷ ねじれた角度 に直したものです。回る物のゆれで使うので、ねじり振動（回る物の揺れ） で見ます。

ばねのつなぎ方

1つの物を、2つのばねで支えることもあります。つなぎ方は2通りです。

並べてつなぐ（並列）は、足し算

同じ板を2枚、横に並べて、先に1つのモータを載せます。モータが 1 mm 下がると、2枚の板は、どちらも 1 mm 下がります。

動く量は同じで、力を2枚で分けて受けます。だから、同じだけ下げるのに要る力は、2枚の力の足し算です。

$$\skrk = \stbKOne + \stbKTwo$$

同じ板2枚なら、12,360 + 12,360 = 24,720 N/m で、2倍です。振動数は √2 倍の 35.4 Hz になります。

マットレスの中のばねも、並列です。並ぶばねが多いほど、同じ重さで沈む量は小さくなります。

縦につなぐ（直列）は、逆数の足し算

今度は、板の先にコイルばねを1つはさんで、その下にモータをつるします。モータを引くと、同じ力が、コイルばねにも板にもかかります。

力は同じで、動く量を2つで足します。1 N あたりに動く量（ばね定数の逆数）を、足し算します。

$$\dfrac{1}{\skrk} = \dfrac{1}{\stbKOne} + \dfrac{1}{\stbKTwo}$$

板と同じばね定数 12,360 N/m のコイルばねをはさむと、$1/\skrk = 2/12{,}360$ で、$\skrk = 6{,}180$ N/m です。半分の硬さになり、振動数は 25.0 Hz の $1/\sqrt{2}$ 倍の 17.7 Hz です。

直列にすると、どちらのばねよりも柔らかくなります。硬いばねと柔らかいばねを直列にすると、全体は柔らかいばねより、さらに少し柔らかくなります。

車体は、サスペンションのばねの上に載り、そのばねは、空気の入ったタイヤの上に載っています。タイヤも、ばねです。この2つは、直列のばねです（例題2）。

どの数字がいちばん効く？

板とモータの数字を1割（10%）だけ変えたとき、ばね定数と振動数がどう変わるかを並べてみます。

長さと厚さは、幅や質量の約3倍効きます。ばね定数の変化が √ で弱まって、振動数に出ます。

動かしてみよう

板の長さ $\sL$ のスライダーを右へ動かして、ゆれがどれだけゆっくりになるか見てください。次に、厚さ $\sh$ を変えてください。つなぎ方を「並列」「直列」に切り替えて枚数 $\stbN$ を変えると、足し算と逆数の足し算の違いが見えます。

最後に、支え方を「両端支持（真ん中）」に切り替えてください。同じ板・同じ長さのまま、振動数は 25.0 Hz から 100 Hz になります。

ゆれは速いので、はじめは 1/20 の速さで動かしています。変位は、板の長さの縮尺の20倍に拡大して描いています。「いまの図を残して比べる」を押すと、残した図の波形が薄く重なります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1つなぎ方を「並列」にして、次に「直列」に切り替える。結果の欄のばね定数を見る（まだ）
2. 2「1枚」に戻し、板の長さ L を2倍の 300 mm にする。波形の山の間隔を、薄い初期値の波形と比べる（まだ）
3. 3長さを 150 mm に戻し、支え方を「両端支持（真ん中）」に切り替える（まだ）

m質量−kg＋

L板の長さ−mm＋

b板の幅−mm＋

h板の厚さ−mm＋

つなぎ板のつなぎ方

1枚並列直列

nつなぐ板の枚数−＋

支え支え方（ばね定数の係数）

片持ち（先端）両端支持（真ん中）

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.0000 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べるばね定数は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-material}{k_1} = \dfrac{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}{\htmlClass{q-geometry}{L}^3}$$$$= \dfrac{3 \times 206{,}000 \times 67.5}{150^3}$$$$= 12.36\ \mathrm{N/mm} = 12{,}360\ \mathrm{N/m}$$

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 67.5\ \mathrm{mm^4}$

ばね定数

$\htmlClass{q-material}{k} = 12{,}360\ \mathrm{N/m}$

固有振動数

$\htmlClass{q-flow}{f_n} = 25\ \mathrm{Hz}$

固有角振動数

$\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = 157.2\ \mathrm{rad/s}$

静たわみ（自重で下がる量）

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\mathrm{st}}} = 0.397\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. 板の断面二次モーメント（長方形）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 3^3}{12} = 67.5\ \mathrm{mm^4}$$

2. 板1枚のばね定数（片持ち・先端）

   $$\htmlClass{q-material}{k_1} = \dfrac{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}{\htmlClass{q-geometry}{L}^3} = \dfrac{3 \times 206{,}000 \times 67.5}{150^3} = 12.36\ \mathrm{N/mm} = 12{,}360\ \mathrm{N/m}$$

3. 全体のばね定数（板1枚）

   $$\htmlClass{q-material}{k} = \htmlClass{q-material}{k_1} = 12{,}360 = 12{,}360\ \mathrm{N/m}$$

4. 固有振動数

   $$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k}}{\htmlClass{q-material}{m}}} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{12{,}360}{0.5}} = 25\ \mathrm{Hz}$$

5. 静たわみ（モータの自重で先端が下がる量）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\mathrm{st}}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{g}}{\htmlClass{q-material}{k}} = \dfrac{0.5 \times 9.81}{12{,}360} = 0.397\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「板を2枚重ねれば、厚さ2倍の板と同じ」

重ねただけの2枚と、厚さ2倍の1枚は、まったく違います。

重ねただけの2枚は、曲げると、合わさった面がすべります。1枚ずつが、それぞれの真ん中を中立軸にして曲がるので、並列の2枚と同じです。くっつけた1枚では、中立軸が全体の真ん中に1本だけになり、外側の材料がよく効きます（断面二次モーメント）。

トラックなどに使われる重ね板ばねは、このすべりを使っています。板を重ねて、強さを持たせながら、柔らかいばねにしています。

「ばねを縦につなぐと、硬くなる」

反対です。縦につなぐと、同じ力で、それぞれのばねが伸びます。伸びが足し算になるので、全体は柔らかくなります。

「ばね定数と、材料の硬さ $\sE$ は、同じもの」

$\sE$ は材料の性質です。鋼なら、どんな形でも 206 GPa です。ばね定数 $\skrk$ は、材料の硬さに、形・長さ・支え方を合わせたものです。同じ鋼の板でも、上の表のように、支え方で1万倍も違います。

この公式が使える条件

• 板の質量は、モータに比べて十分小さい。この単元の板は、7,850 kg/m³ × 30 mm × 3 mm × 150 mm で、0.106 kg です。モータ 0.5 kg の約5分の1です
• 板のたわみは小さい。荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• 板の根元は、壁に完全に固定されている（ねじの部分がゆるまない・しならない）
• モータは、板の先端の1点にある質量として扱う。ゆれを弱めるもの（ダンパ）は考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

並列：2つのばねが、同じだけ $x$ 動きます。力は $\stbKOne x$ と $\stbKTwo x$ で、合わせて

$$F = \stbKOne x + \stbKTwo x = (\stbKOne + \stbKTwo)\,x \qquad\Longrightarrow\qquad \skrk = \stbKOne + \stbKTwo$$

直列：2つのばねに、同じ力 $F$ がかかります。伸びは $F/\stbKOne$ と $F/\stbKTwo$ で、合わせて

$$x = \dfrac{F}{\stbKOne} + \dfrac{F}{\stbKTwo} = F\left(\dfrac{1}{\stbKOne} + \dfrac{1}{\stbKTwo}\right) \qquad\Longrightarrow\qquad \dfrac{1}{\skrk} = \dfrac{1}{\stbKOne} + \dfrac{1}{\stbKTwo}$$

2つのときは、$\skrk = \stbKOne\stbKTwo/(\stbKOne + \stbKTwo)$ とも書けます。

単純支持の 48：両端で支えた長さ $\sL$ の板の真ん中に $\sP$ をかけると、たわみは $\sP\sL^3/(48\sE\sI)$ でした。真ん中から片側だけを見ると、長さ $\sL/2$ の片持ちばりの先に $\sP/2$ がかかった形です。

$$\sdelta = \dfrac{(\sP/2)(\sL/2)^3}{3\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI} \qquad\Longrightarrow\qquad \skrk = \dfrac{48\,\sE\,\sI}{\sL^3}$$

同じ長さの片持ちと比べると、長さが半分で 8倍、荷重が半分ずつで 2倍、合わせて 16倍です。

板の質量を少しだけ考える：板の質量 $m_p$ を、先端の質量に換算すると $(33/140)\,m_p \fallingdotseq 0.236\,m_p$ です（板がたわみの形のままゆれるとして、運動のエネルギーを足し合わせた値）。この単元の板なら 0.236 × 0.106 = 0.025 kg で、モータに足すと振動数は約 2.4% 下がります。