揺れは、逆向きの揺れで消せる動吸振器（揺れを揺れで消す）

高い建物の上に、大きなおもり

高い建物は、強い風を受けると、ゆっくり左右に揺れます。壊れるほどではなくても、上の階にいる人は、船に乗ったような気分になります。

台湾の高層ビル「台北101」では、87階から92階の吹き抜けに、直径 5.5 m・質量 660 t の鋼の球が、ケーブルでつり下げられています。この球は、建物が揺れると、建物より少し（約4分の1往復）遅れて揺れ、ケーブルで建物を、動いている向きと逆へ引き戻します。球のまわりには、油圧の筒（ダンパ）が付いています。

こういう装置を動吸振器といいます。建物に付けるものは、同調質量ダンパ（TMD）とも呼ばれます。建物の揺れを、別の揺れで引き戻して小さくする装置です。

この単元では、模型の数字で考えます。建物の質量は $\sdkM$ = 1万 t、建物のばね定数は $\sdkK$ = 1万 kN/m です。固有角振動数は $\sqrt{\sdkK/\sdkM} = 1\ \mathrm{rad/s}$（0.159 Hz）で、1往復に 6.28 s かかります。

風は、振幅 100 kN の力で建物を揺すります。同じ力で静かに押したら、建物は 10 mm 動きます。

風がちょうど 1 rad/s で揺すると、強制振動と共振 で見た共振です。建物の減衰を考えなければ、揺れはどこまでも大きくなります。

そこで、屋上に 500 t（建物の 5%）のおもりを、ばねでつなぎます。ばね定数 $\sdkk$ をいくらにすれば、建物は揺れなくなるでしょうか。

予想してから読む屋上のおもりの $\sqrt{k/m}$ を、風が揺する角振動数（1 rad/s）に合わせると、建物の揺れは？

Aおもりの分だけ重くなって、少し小さくなるBぴたりと止まる（振幅 0）C建物とおもりが、半分ずつ揺れる

公式はこれ

建物の振幅 $\sdkXOne$ は、次の式で決まります（減衰が無いとき。出どころは最後の「式の導き方」）。

$$\sdkXOne = \dfrac{\skrFZero\,\lvert \sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2 \rvert}{\lvert (\sdkK + \sdkk - \sdkM\,\sdkOmega^2)(\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2) - \sdkk^2 \rvert}$$

答えは、$\sdkk = \sdkm\,\sdkOmega^2 = 500 \times 1^2 = 500\ \mathrm{kN/m}$ です。分子の $\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2$ が 0 になり、建物の振幅は 0 mm です。

式は長いですが、大事なのは分子だけです。なぜ分子が 0 になると建物が止まるのかを、綱引きで見ていきます。

建物が止まる理由

1. 建物が止まっている、と考えてみる。すると、屋上の吸振器は、動かない台の上の、ばねとおもりです。1自由度の自由振動（ばねと質量） と同じです。

2. 動かない台の上で、おもりがずっと揺れていられるのは、固有角振動数のときだけ。戻そうとするばねと、動き続けようとするおもりの綱引きで、揺れる速さは決まっていました。

$$\sdkOmegaA = \sqrt{\dfrac{\sdkk}{\sdkm}}$$

$\sdkOmegaA$ を、吸振器の固有角振動数といいます。これが風の角振動数 $\sdkOmega$ と同じなら、おもりは、風と同じリズムで揺れ続けられます。

3. おもりのばねは、建物を引く。おもりが左へずれると、ばねは建物を左へ引きます。その大きさは、$\sdkk$ × おもりのずれ です。

4. その力が、風の力を打ち消す。風が建物を右へ押すとき、おもりは左にいて、ばねが建物を左へ引きます。2つの力が同じ大きさなら、建物を押す力の合計は 0 です。だから、建物は本当に止まっていられます。

力がつり合う条件から、おもりの振幅 $\sdkXTwo$ が決まります。

$$\sdkk\,\sdkXTwo = \skrFZero \qquad\Longrightarrow\qquad \sdkXTwo = \dfrac{\skrFZero}{\sdkk} = \dfrac{100\ \mathrm{kN}}{500\ \mathrm{kN/m}} = 0.2\ \mathrm{m}$$

建物は止まり、おもりだけが 200 mm の振幅で揺れます。風の揺れを、おもりが全部引き受けています。

強制振動と共振 の言葉で言うと、吸振器は、風の揺れに共振しています。ブランコを押すタイミングが合うと大きく揺れるのと同じで、おもりは大きく揺れます。その大きな揺れが、建物を引く力になります。

式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\sdkXOne = \skrFZero \times \dfrac{\overbrace{\lvert \sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2 \rvert}^{\text{吸振器の綱引きの差}}}{\underbrace{\lvert (\sdkK + \sdkk - \sdkM\,\sdkOmega^2)(\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2) - \sdkk^2 \rvert}_{\text{2つが一緒に揺れるときの、揺れにくさ}}}$$

1. 分子：吸振器の綱引きの差 $\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2$　$\sdkk$ は、ばねが戻そうとする強さです。$\sdkm\,\sdkOmega^2$ は、角振動数 $\sdkOmega$ で揺すられたおもりが、動き続けようとする強さです。速く揺するほど、2乗で強くなります。2つが等しいと、差は 0 で、建物は止まります。$\sdkk = \sdkm\,\sdkOmega^2$ は、$\sdkOmega = \sqrt{\sdkk/\sdkm}$ と同じことです。
2. 分母：2つが一緒に揺れるときの、揺れにくさ　建物と吸振器を合わせた全体が、どれだけ揺れにくいかです。これが 0 になる角振動数では、振幅がどこまでも大きくなります。共振の山です。次の節で、この山を見ます。

数で確かめる。ばねを 400 kN/m にすると、$\sdkOmegaA = \sqrt{400/500} = 0.894\ \mathrm{rad/s}$ で、風の 1 rad/s と合いません。

$$\sdkXOne = \dfrac{100 \times \lvert 400 - 500 \times 1^2 \rvert}{\lvert (10{,}000 + 400 - 10{,}000 \times 1^2)(400 - 500 \times 1^2) - 400^2 \rvert} = \dfrac{10{,}000}{200{,}000} = 0.05\ \mathrm{m}$$

建物は 50 mm 揺れます。静かに押したときの 10 mm の5倍です。ばねを 500 kN/m にすると、分子が 0 になり、建物は止まります。

代わりに、山が2つに分かれる

吸振器を付けると、1 rad/s では止まります。でも、ほかの角振動数ではどうでしょうか。

吸振器の固有角振動数を、建物と同じ 1 rad/s に合わせたとき、分母が 0 になる角振動数を探します。建物の固有角振動数との比を $r = \sdkOmega/\skrOmegaN$、おもりと建物の質量比を $\sdkMu = \sdkm/\sdkM$ とすると、分母が 0 になる条件は次の式です。

$$r^4 - (2 + \sdkMu)\,r^2 + 1 = 0$$

$\sdkMu = 0.05$ なら $r^4 - 2.05\,r^2 + 1 = 0$ です。$r^2$ の2次方程式として解くと、

$$r^2 = \dfrac{2.05 \pm \sqrt{2.05^2 - 4}}{2} = \dfrac{2.05 \pm 0.45}{2} = 0.8,\ 1.25$$

$r = 0.894$ と $1.118$ です。1 rad/s にあった共振の山が、少し遅い 0.894 rad/s と、少し速い 1.118 rad/s の2つに分かれました。1 rad/s のところは、谷（振幅 0）になっています。

山が2つあるのは、建物とおもりが一緒に揺れる「揺れ方」が2通りあるからです。

ばねでつないだ2つの振り子も、同じです。2つが同じ向きに揺れる揺れ方と、逆向きに揺れる揺れ方があり、逆向きのほうが速く揺れます。

どの数字がいちばん効く？

吸振器は、合わせた角振動数のまわりでだけ、よく効きます。ばね 500 kN/m・減衰なしの吸振器で、数字を1割まで変えたときの建物の振幅です。

ほかの変え方も見る（1% のずれ・速いほうへのずれ・ばねを強く・おもりを変える）

変えるもの	建物の振幅	吸振器が無いとき
風の角振動数を 1% 遅く（0.99 rad/s）	4.09 mm	503 mm
風の角振動数を 1% 速く（1.01 rad/s）	3.97 mm	498 mm
風の角振動数を 5% 速く（1.05 rad/s）	23.0 mm	97.6 mm
風の角振動数を 10% 速く（1.1 rad/s）	128 mm	47.6 mm
吸振器のばね $\sdkk$ を 10% 強く	18.2 mm	どこまでも大きい
おもり $\sdkm$ を 10% 軽く	22.2 mm	どこまでも大きい
おもり $\sdkm$ を 10% 重く	18.2 mm	どこまでも大きい

いちばん効くのは、風の角振動数のずれです。5% のずれなら、吸振器があるほうがずっと小さい揺れです（27.4 mm と 103 mm）。ところが 10% ずれて山に近づくと、吸振器が無いときより大きく揺れます。0.9 rad/s では、吸振器が無いときの約8倍です。

ばねやおもりの 10% のずれは、22 mm 前後の揺れになります。合わせ方が少し狂っても、共振のままよりは、ずっと小さく済みます。

減衰を入れて、山をそろえる

本物の風は、いつも同じ角振動数で揺するとは限りません。そこで、吸振器にダンパを入れます。ダンパの効き方は、減衰振動 の減衰比 $\sdkZeta$ で表します（吸振器のばねとおもりで決める値。$\sdkZeta = c/(2\sqrt{\sdkm\,\sdkk})$）。

減衰を入れると、1 rad/s の谷は 0 ではなくなります。その代わり、2つの山が低くなります。

ちょうどよい合わせ方は、次の3つの式で決まります。振動学の教科書にある、デン・ハルトッフの方法（どの減衰比でも曲線が通る2つの点の高さを、そろえる方法）から出る式です。ここでは導かず、盤と数値計算で確かめます。

$$\dfrac{\sdkOmegaA}{\skrOmegaN} = \dfrac{1}{1 + \sdkMu}, \qquad \sdkZeta = \sqrt{\dfrac{3\,\sdkMu}{8\,(1 + \sdkMu)}}, \qquad \dfrac{\text{山の高さ}}{\skrXst} \fallingdotseq \sqrt{1 + \dfrac{2}{\sdkMu}}$$

$\sdkMu = 0.05$ の建物で、数を入れます。

• 吸振器の固有角振動数は、建物の 1 ÷ 1.05 = 0.952 倍。ばねにすると $\sdkk = 500 \times 0.952^2 = 453.5\ \mathrm{kN/m}$ です。建物より、わずかに遅く合わせます。
• 減衰比は $\sqrt{3 \times 0.05 / (8 \times 1.05)} = 0.134$ です。
• 山の高さは $\sqrt{1 + 2/0.05} = \sqrt{41} = 6.40$ 倍、64 mm です。

盤で $\sdkk$ = 454 kN/m、$\sdkZeta$ = 0.13 にすると、2つの山は 64.2 mm と 64.0 mm で、ほぼそろいます。風がちょうど 1 rad/s のときは 56.2 mm で、0 にはなりません。その代わり、どの角振動数でも 65 mm を超えません。

減衰を入れると、揺れ方も変わります。建物がよく揺れる角振動数の近くでは、おもりは建物とぴったり逆向きではなく、建物より約4分の1往復（90°）遅れて揺れます。建物が真ん中を通って速く動いているときに、おもりは端にいて、ばねとダンパで建物を引き戻します。本物の台北101の球も、この揺れ方です。

建物に戻る

最初の問いに戻ります。500 t のおもりのばねを 500 kN/m にすると、$\sqrt{\sdkk/\sdkm}$ が 1 rad/s になり、1 rad/s の風では、建物は止まります。おもりは 200 mm の振幅で、風の力と逆向きに揺れます。

おもりが大きく揺れるのは、本物でも同じです。台北101の球が設計で許されている振れは 1.5 m で、2015年の台風では 1 m 振れました。

動かしてみよう

初期値は、風が建物の固有角振動数 1 rad/s で揺すり、吸振器のばねは 400 kN/m です。建物は 50 mm、おもりは 200 mm 揺れています。

吸振器のばね $\sdkk$ を 500 kN/m にしてみてください。建物が止まり、おもりだけが揺れます。建物の中の朱の矢印（ばねの力）が、風の力 F と同じ長さで逆を向きます。下のグラフでは、太い線の谷が、朱色の点（いまの角振動数）の位置に来ます。

次に、風の角振動数 $\sdkOmega$ を動かして、谷から山へ近づけてみてください。最後に、減衰比 $\sdkZeta$ を少しずつ上げると、2つの山が低くなるのが分かります。

風で揺すり続ける様子を描いているので、数字を変えても、時刻は 0 に戻りません。描いているのは、揺すり始めの乱れが消えたあとの、決まった揺れ（定常の揺れ）です。はじめは実際の3倍の速さで動かしています。波形の青い線が建物、黒い線がおもりです。「いまの図を残して比べる」を押すと、残した建物の波形を薄く重ねられます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1吸振器のばね k を 500 kN/m にして、√(k/m) を揺れの 1 rad/s に合わせる（まだ）
2. 2k = 500 kN/m のまま、揺れの角振動数 ω を 0.85 rad/s に下げる（まだ）
3. 3k を 454 kN/m、減衰比 ζ を 0.13 にして、グラフの山の高さを見る（まだ）

ω揺れの角振動数（風が揺する速さ）−rad/s＋

m吸振器のおもりの質量−t＋

k吸振器のばね定数−kN/m＋

ζ吸振器の減衰比−＋

❚❚ 止める↺ はじめから3 倍の速さ×3実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる建物の振幅は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{X_1} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F_0}\,\lvert \htmlClass{q-material}{k} - \htmlClass{q-material}{m}\htmlClass{q-flow}{\omega}^2 \rvert}{\lvert D \rvert}$$$$= \dfrac{100 \times 100}{200{,}000}$$$$= 50\ \mathrm{mm}$$

建物の振幅

$\htmlClass{q-displacement}{X_1} = 50\ \mathrm{mm}$

吸振器のおもりの振幅

$\htmlClass{q-displacement}{X_2} = 200\ \mathrm{mm}$

吸振器の固有角振動数

$\htmlClass{q-flow}{\omega_a} = 0.894\ \mathrm{rad/s}$

振動数（加振）

$\htmlClass{q-flow}{f} = 0.159\ \mathrm{Hz}$

途中の計算（導出）を見る

1. 吸振器の固有角振動数（吸振器だけで揺れる速さ）

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_a} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k}}{\htmlClass{q-material}{m}}} = \sqrt{\dfrac{400\ \mathrm{kN/m}}{500\ \mathrm{t}}} = 0.894\ \mathrm{rad/s}$$

2. 風が揺する振動数（1秒に揺する回数）

   $$\htmlClass{q-flow}{f} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega}}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi} = 0.159\ \mathrm{Hz}$$

3. 分母 D（2つが一緒に揺れるときの揺れにくさ。力は kN・質量は t・ばねは kN/m で入れる）

   $$\lvert D \rvert = \lvert (\htmlClass{q-material}{K} + \htmlClass{q-material}{k} - \htmlClass{q-material}{M}\htmlClass{q-flow}{\omega}^2)(\htmlClass{q-material}{k} - \htmlClass{q-material}{m}\htmlClass{q-flow}{\omega}^2) - \htmlClass{q-material}{k}^2 \rvert = \lvert (10{,}000 + 400 - 10{,}000 \times 1^2)(400 - 500 \times 1^2) - 400^2 \rvert = 200{,}000$$

4. 建物の振幅（kN を kN/m で割るので m で出る。mm に直して示す）

   $$\htmlClass{q-displacement}{X_1} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F_0}\,\lvert \htmlClass{q-material}{k} - \htmlClass{q-material}{m}\htmlClass{q-flow}{\omega}^2 \rvert}{\lvert D \rvert} = \dfrac{100 \times 100}{200{,}000} = 50\ \mathrm{mm}$$

5. 吸振器のおもりの振幅

   $$\htmlClass{q-displacement}{X_2} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F_0}\,\htmlClass{q-material}{k}}{\lvert (\htmlClass{q-material}{K} + \htmlClass{q-material}{k} - \htmlClass{q-material}{M}\htmlClass{q-flow}{\omega}^2)(\htmlClass{q-material}{k} - \htmlClass{q-material}{m}\htmlClass{q-flow}{\omega}^2) - \htmlClass{q-material}{k}^2 \rvert} = \dfrac{100 \times 400}{200{,}000} = 200\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「重いおもりを載せて、揺れを押さえつけている」

押さえつけてはいません。500 t は、建物の 5% です。重さが 5% 増えるだけなら、共振の揺れは、ほとんど変わりません。

ばねでつながず、おもりを屋上に固定してしまうと、建物が少し重くなるだけです。共振の角振動数が少し下がるだけで、揺れは止まりません。

「吸振器を付ければ、どんな揺れにも効く」

減衰が無い吸振器が効くのは、合わせた振動数のまわりだけです。上の表のとおり、10% ずれると、吸振器が無いときより揺れることもあります。揺れの振動数が変わるときは、減衰を入れます。

「建物が止まるなら、おもりも止まっている」

おもりが止まると、ばねは建物を引けません。建物を止めているのは、おもりが揺れていることです。建物が止まっているとき、おもりは $F_0/k$ の振幅で揺れ続けています。

この公式が使える条件

• 建物を、1つのおもりとばねで表す（いちばん低い揺れ方だけを考える）
• 建物そのものの減衰は考えない。本物の建物には少し減衰があるので、山の高さは有限です。吸振器の減衰が 0 なら、建物の減衰があっても、合わせた振動数で建物が止まることは同じです
• 揺れは小さく、ばねの力はずれに比例する
• 風の力は、決まった振幅と角振動数で揺する力とする。揺すり始めの乱れが消えたあとの、定常の揺れだけを考える
• つり下げた振り子の吸振器（台北101）では、ばねの代わりに、重力が戻そうとする力を出します。考え方は同じです

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

運動の式：建物の変位を $\sdkxOne$、おもりの変位を $\sdkxTwo$ とします（どちらも地面から測る）。吸振器のばねの伸びは $\sdkxTwo - \sdkxOne$ です。風の力を $\skrFZero\sin\sdkOmega t$ とすると、質量 × 加速度 ＝ 力 から、

$$\sdkM\,\ddot x_1 = -\sdkK\,\sdkxOne + \sdkk\,(\sdkxTwo - \sdkxOne) + \skrFZero \sin\sdkOmega t$$$$\sdkm\,\ddot x_2 = -\sdkk\,(\sdkxTwo - \sdkxOne)$$

定常の解：$\sdkxOne = X_1\sin\sdkOmega t$、$\sdkxTwo = X_2\sin\sdkOmega t$ と置きます。2回微分すると $-\sdkOmega^2$ 倍になるので、

$$(\sdkK + \sdkk - \sdkM\,\sdkOmega^2)\,X_1 - \sdkk\,X_2 = \skrFZero, \qquad -\sdkk\,X_1 + (\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2)\,X_2 = 0$$

2つ目の式から $X_2 = \sdkk\,X_1/(\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2)$。1つ目に入れて整理すると、

$$X_1 = \dfrac{\skrFZero\,(\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2)}{D}, \qquad X_2 = \dfrac{\skrFZero\,\sdkk}{D}, \qquad D = (\sdkK + \sdkk - \sdkM\,\sdkOmega^2)(\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2) - \sdkk^2$$

$\sdkk = \sdkm\,\sdkOmega^2$ なら $X_1 = 0$、$D = -\sdkk^2$ で $X_2 = -\skrFZero/\sdkk$。マイナスは、風の力と逆向きという意味です。$\sdkM$ と $\sdkK$ は、どこにも残りません。

山の位置：$D$ を $\sdkk\,\sdkK$ で割り、$\sdkk/\sdkm = \sdkK/\sdkM = \skrOmegaN^2$（同じに合わせた）、$r = \sdkOmega/\skrOmegaN$、$\sdkMu = \sdkm/\sdkM$ を使うと、$\sdkk/\sdkK = \sdkMu$ なので、

$$\dfrac{D}{\sdkk\,\sdkK} = (1 + \sdkMu - r^2)(1 - r^2) - \sdkMu = r^4 - (2 + \sdkMu)\,r^2 + 1$$

これが 0 になる $r$ が、2つの山です。2つの解の $r^2$ を掛けると 1 なので（2次方程式の解と係数の関係）、2つの山は、1 をはさんで、掛けて 1 になる位置にあります（0.8 × 1.25 = 1）。

揺れ方：$X_2/X_1 = \sdkk/(\sdkk - \sdkm\,\sdkOmega^2) = 1/(1 - r^2)$。$r^2 = 0.8$ なら 5（同じ向き）、$r^2 = 1.25$ なら −4（逆向き）です。

減衰を入れたとき：吸振器のばねの横に、減衰係数 $c$ のダンパを入れると、$\sdkk$ が $\sdkk + i\,c\,\sdkOmega$ に替わります（$i$ は虚数単位。速さに比例する力は、変位より 1/4 周期ずれるので、複素数で表すと扱いやすい）。振幅は、分子と分母の複素数の大きさの比です。盤とこの単元の数字は、この式で計算し、運動の式をそのまま細かい時間刻みで数値積分した結果と、1% 以内で一致することを確かめています。