ダンパは、強すぎると戻るのが遅くなる減衰振動

ゆれは、いつか止まる

ブランコを一度押して、あとは何もしないでいると、ゆれは少しずつ小さくなって、やがて止まります。空気の抵抗や、つり具のこすれが、ゆれのエネルギーを少しずつ熱に変えて、抜いていくからです。

機械では、このエネルギーを抜く仕事を、わざと部品にさせることがあります。その部品がダンパです。

車が段差を越えると、車体はばねの上で上下にゆれます。ゆれが続くと、乗っている人は酔いますし、タイヤが路面を押す力が大きく揺れて、ハンドルやブレーキが効きにくくなります。ばねと並べて付けたダンパ（ショックアブソーバ）が、このゆれを早く止めます。

ドアの上に付いたドアクローザも、ダンパです。開けたドアが、バタンと閉まらず、行き過ぎずに静かに閉まります。

この単元では、1自由度の自由振動（ばねと質量）の単元と同じ、2 kg のおもりと 800 N/m のばねで考えます。ダンパを付けないと、1秒に 3.18 回ゆれ続けました。ここに、ダンパを1本並べます。おもりを 20 mm 引き下げて、静かにはなします。

ゆれは、1往復ごとに、どれだけ小さくなるでしょうか。

予想してから読むこのダンパでは減衰比が $\zeta = 0.1$ です。1往復したあと、振幅ははじめの何倍？

A0.9倍（1割減る）B約 0.53倍（半分ほど）C0.1倍

ダンパは、速さに比例してブレーキをかける

ダンパの中には油が入っていて、小さな穴のあいたピストンが、その中を動きます。ピストンを動かすと、油が穴を通り抜けるときに、動きを妨げる力が出ます。

注射器の先を指でふさぎかけて押すと、ゆっくり押せば軽く、速く押すと重く感じます。ダンパの力も同じで、速く動かすほど大きくなります。この単元では、力が速さに比例すると考えます。

$$(\text{ダンパの力}) = \skrc \times (\text{速さ } v)$$

比例の係数 $\skrc$ が減衰係数で、単位は N·s/m です。速さ 1 m/s で動かしたときに、何 N の力が出るかを表します。

ばねの力は「どれだけずれたか」で決まりました。ダンパの力は「どれだけ速く動いているか」で決まります。止まっているときは、どんなにずれていても、ダンパは力を出しません。

綱引きの言葉で言うと、ばねとおもりの綱引きは、そのまま続きます。ダンパは、そのあいだに、動きのエネルギーを熱に変えて、少しずつ抜いていきます。

ゆれるか、ゆれないかの境目

ダンパを少しずつ強くしていくと、あるところで、おもりは行き過ぎずに戻るようになります。その境目のダンパの強さを、臨界減衰係数 $\sgsCc$ といいます。

$$\sgsCc = 2\sqrt{\skrm\,\skrk}$$

この式の出どころは、最後の「式の導き方」で見ます。$\skrm$ と $\skrk$ の両方が大きいほど、境目のダンパも強くなります。重いおもりは動き続けようとする強さが大きく、硬いばねは強く引き戻すからです。

ダンパの強さ $\skrc$ を、この境目と比べた数が、減衰比 $\skrZeta$（ゼータ）です。

$$\skrZeta = \dfrac{\skrc}{\sgsCc} = \dfrac{\skrc}{2\sqrt{\skrm\,\skrk}}$$

2 kg のおもりと 800 N/m のばねでは、

$$\sgsCc = 2\sqrt{2 \times 800} = 80\ \mathrm{N\cdot s/m}, \qquad \skrZeta = \dfrac{8}{80} = 0.1$$

減衰係数 8 N·s/m のダンパは、境目の 10分の1 の強さです。

3通りの止まり方

ばねとおもりは同じまま、ダンパの強さだけを、$\skrZeta = 0.1$・1・2 の3つに変えてみます。

$\skrZeta = 1$ を境に、ゆれる・ゆれないが入れ替わります。答えの式の形も、ここで変わります（「式の導き方」）。

1往復ごとに同じ割合で減る

$\skrZeta < 1$ のとき、ゆれの山は、次の線の内側に収まります。この線を包絡線といいます（シミュレータの波形の破線）。

$$\pm\,\dfrac{x_0}{\sqrt{1-\skrZeta^2}}\;e^{-\skrZeta\,\skrOmegaN\,t}$$

$e^{-\skrZeta\skrOmegaN t}$ は、時間が一定だけたつごとに、同じ割合で小さくなる量です。だから、1往復ごとに、山の高さは同じ割合で小さくなります。

その割合を出します。1往復の時間は $1/\sgsFd$ です。その間に、包絡線は $e^{-\sgsDelta}$ 倍になります。

$$\sgsDelta = \dfrac{2\pi\,\skrZeta}{\sqrt{1 - \skrZeta^2}}, \qquad \sgsRatio = e^{-\sgsDelta}$$

$\sgsDelta$ を対数減衰率といいます。山と山の比の対数（ln）をとった値だからです。

$\skrZeta = 0.1$ を入れます。

$$\sgsDelta = \dfrac{2\pi \times 0.1}{\sqrt{1 - 0.1^2}} = 0.6315, \qquad e^{-0.6315} = 0.5318$$

1往復で、振幅は約 0.53倍です。0.9倍（1割減る）ではありません。$\skrZeta = 0.1$ は「境目の 10分の1 のダンパ」という意味で、1往復のあいだに、振幅はほぼ半分になります。

同じ割合が続くので、5往復で $0.5318^5 = 0.0425$、はじめの約 4% です。20 mm だったゆれは、5往復で 0.85 mm ほどになります。

逆に、記録した波形の、となりの山の比から $\sgsDelta$ を読めば、$\skrZeta$ が分かります（例題3）。ダンパの強さを測る、ふつうのやり方です。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$\skrZeta < 1$ のときのゆれは、2つの部分の掛け算です。

$$x(t) = \underbrace{\dfrac{x_0}{\sqrt{1-\skrZeta^2}}\,e^{-\skrZeta\,\skrOmegaN\,t}}_{\text{振幅の減り方}} \times \underbrace{\cos(\sgsOmegaD\,t - \varphi)}_{\text{行ったり来たり}}$$

1. 振幅の減り方　ダンパが、ゆれのエネルギーを抜いていく速さです。$\skrZeta\,\skrOmegaN$ が大きいほど、早く小さくなります。2 kg・800 N/m・$\skrZeta = 0.1$ では $\skrZeta\skrOmegaN = 2$ /s で、1秒で $e^{-2} = 0.135$ 倍です。
2. 行ったり来たり　ばねとおもりの綱引きです。速さは、ダンパが無いときの $\skrOmegaN$ より、少しだけ遅くなります。

$$\sgsOmegaD = \skrOmegaN\sqrt{1 - \skrZeta^2}, \qquad \sgsFd = \dfrac{\sgsOmegaD}{2\pi}$$

$\skrZeta = 0.1$ では、3.183 Hz が 3.167 Hz になるだけです（0.5% 遅い）。ダンパは、ゆれの速さはほとんど変えずに、大きさを減らします。

強くしすぎると、かえって遅い

ゆれが、はなした位置の 5% 以内（20 mm なら 1 mm 以内）に収まって、もう出なくなるまでの時間 $\sgsTs$ を比べます。

$\skrZeta = 2$ では、$\skrZeta = 1$ の約 2.4倍の時間がかかります。ダンパが動きを強く妨げるので、ばねがおもりを引き戻すのにも、時間がかかるのです。

表には、もう1つ大事なことが出ています。少しの行き過ぎ（4.6%）を許すなら、$\skrZeta = 0.7$ のほうが、$\skrZeta = 1$ より早く収まります。$\skrZeta = 1$ は「行き過ぎないなかで、いちばん速い」強さです。

どの数字がいちばん効く？

$\skrZeta = 0.1$ のところから、それぞれの数字を1割（10%）大きくしたときの変化です。

ダンパそのものの $\skrc$ が、いちばん効きます。$\skrm$ と $\skrk$ は、境目 $2\sqrt{\skrm\skrk}$ の √ の中にあるので、効き目は半分ほどです。同じダンパでも、重い物や硬いばねに付けると、$\skrZeta$ は小さくなります。

動かしてみよう

ダンパの減衰係数 $\skrc$ を、8 から 80、160 へと変えて、おもりの戻り方の違いを見てください。波形の破線は包絡線です（$\skrZeta < 1$ のときだけ出ます）。

シミュレータは 1/4 の速さで始めます。図の中の時間で 2.5 秒ごとに、はなした瞬間に戻ります。「いまの図を残して比べる」を押してから $\skrc$ を変えると、2つの戻り方を重ねて見られます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1ダンパの減衰係数 c を 80 N·s/m にして、おもりの戻り方を見る（まだ）
2. 2c を2倍の 160 N·s/m にして、5% 以内に収まるまでの時間を比べる（まだ）
3. 3c を 16 N·s/m（初期値の2倍）にして、1往復したあとの振幅の比を見る（まだ）

m質量−kg＋

kばね定数−N/m＋

c減衰係数−N·s/m＋

x0初めの変位（はなす位置）−mm＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる5% 以内に収まるまでの時間は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-material}{\zeta} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{c}}{\htmlClass{q-material}{c_c}}$$$$= \dfrac{8}{80}$$$$= 0.1$$

減衰比

$\htmlClass{q-material}{\zeta} = 0.1\$

臨界減衰係数

$\htmlClass{q-material}{c_c} = 80\ \mathrm{N\cdot s/m}$

減衰があるときの振動数

$\htmlClass{q-flow}{f_d} = 3.167\ \mathrm{Hz}$

対数減衰率

$\htmlClass{q-material}{\delta} = 0.631\$

1往復したあとの振幅の比

$\htmlClass{q-displacement}{x_{n+1}/x_n} = 0.532\$

5% 以内に収まるまでの時間

$\htmlClass{q-flow}{t_s} = 1.45\ \mathrm{s}$

途中の計算（導出）を見る

1. 固有角振動数（ダンパが無いときの、綱引きの速さ）

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k}}{\htmlClass{q-material}{m}}} = \sqrt{\dfrac{800}{2}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

2. 臨界減衰係数（ゆれるか、ゆれないかの境目のダンパの強さ）

   $$\htmlClass{q-material}{c_c} = 2\sqrt{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{k}} = 2\sqrt{2 \times 800} = 80\ \mathrm{N\cdot s/m}$$

3. 減衰比（ζ < 1：ゆれながら減る）

   $$\htmlClass{q-material}{\zeta} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{c}}{\htmlClass{q-material}{c_c}} = \dfrac{8}{80} = 0.1$$

4. 減衰があるときの振動数（ダンパが無いときより、少しだけ遅い）

   $$\htmlClass{q-flow}{f_d} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_n}\sqrt{1 - \htmlClass{q-material}{\zeta}^2}}{2\pi} = \dfrac{20 \times \sqrt{1 - 0.1^2}}{2\pi} = 3.167\ \mathrm{Hz}$$

5. 対数減衰率（1往復で、振幅の対数がどれだけ減るか）

   $$\htmlClass{q-material}{\delta} = \dfrac{2\pi\,\htmlClass{q-material}{\zeta}}{\sqrt{1 - \htmlClass{q-material}{\zeta}^2}} = \dfrac{2\pi \times 0.1}{\sqrt{1 - 0.1^2}} = 0.631$$

6. 1往復したあとの振幅の比

   $$\htmlClass{q-displacement}{x_{n+1}/x_n} = e^{-\htmlClass{q-material}{\delta}} = e^{-0.631} = 0.532$$

7. はなした位置の 5% 以内に収まるまでの時間（解の式から、数値で探す）

   $$\htmlClass{q-flow}{t_s} = |x(t)| \le 0.05\,\htmlClass{q-displacement}{x_0}\ \text{が続く最初の時刻} = 1.45\ \mathrm{s}$$

よくある勘違い

「ζ = 0.1 なら、1往復で1割減る」

$\skrZeta$ は、振幅の比ではありません。「境目のダンパの何倍の強さか」です。1往復の比は $e^{-2\pi\skrZeta/\sqrt{1-\skrZeta^2}}$ で、$\skrZeta = 0.1$ なら約 0.53倍。1往復で半分近くまで減ります。

「ダンパを強くするほど、早く止まる」

強くするほど早いのは、$\skrZeta = 1$ の近くまでです。それより強くすると、ゆれはしませんが、戻るのが遅くなります。$\skrZeta = 2$ で約 2.4倍の時間です。

「減衰係数 c と減衰比 ζ は、同じもの」

同じ $\skrc = 8$ のダンパでも、おもりを 8 kg にすると、境目は 160 N·s/m になり、$\skrZeta$ は 0.05 になります。

この単元で使う前提

• ダンパの力は、速さに比例する（$\skrc\,v$）。ばねの力は、伸びに比例する
• 変位は、重さで下がったつり合いの位置から測る
• おもりを $x_0$ だけずらして、速さ 0 で静かにはなす
• 外から揺すらない（外から揺すり続けるゆれは、強制振動と共振の単元）
• シミュレータは、はなしてから（図の中の時間で）2.5 秒ごとに、はなした瞬間に戻してくり返す

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

運動の式：おもりにかかる力は、ばねの $-\skrk x$ と、ダンパの $-\skrc\,dx/dt$ です。質量 × 加速度 ＝ 力 から、

$$\skrm\,\dfrac{d^2x}{dt^2} + \skrc\,\dfrac{dx}{dt} + \skrk\,x = 0$$

答えの形を決める：$x = e^{st}$ と置いて入れると、$e^{st}$ が全部の項にかかるので、割って消えます。

$$\skrm\,s^2 + \skrc\,s + \skrk = 0 \quad\Rightarrow\quad s = \dfrac{-\skrc \pm \sqrt{\skrc^2 - 4\skrm\skrk}}{2\skrm}$$

境目：√ の中が 0 になるのは、$\skrc^2 = 4\skrm\skrk$、つまり $\skrc = 2\sqrt{\skrm\skrk}$ のときです。これが臨界減衰係数 $\sgsCc$ です。$\skrZeta = \skrc/\sgsCc$、$\skrOmegaN = \sqrt{\skrk/\skrm}$ で書き直すと、

$$s = \skrOmegaN\left(-\skrZeta \pm \sqrt{\skrZeta^2 - 1}\right)$$3つの場合：

• $\skrZeta < 1$：√ の中が負なので、$s = -\skrZeta\skrOmegaN \pm i\,\sgsOmegaD$（$\sgsOmegaD = \skrOmegaN\sqrt{1-\skrZeta^2}$）。虚数の部分が cos・sin のゆれになり、実数の部分 $-\skrZeta\skrOmegaN$ が減り方になります。$x(0) = x_0$、速さ 0 から、 $$x = e^{-\skrZeta\skrOmegaN t}\left(x_0\cos\sgsOmegaD t + \dfrac{\skrZeta\skrOmegaN x_0}{\sgsOmegaD}\sin\sgsOmegaD t\right)$$
• $\skrZeta = 1$：$s = -\skrOmegaN$ の1つだけになります。この場合は $t\,e^{-\skrOmegaN t}$ も答えになるので、 $$x = x_0\,(1 + \skrOmegaN t)\,e^{-\skrOmegaN t}$$
• $\skrZeta > 1$：2つの負の実数 $s_1, s_2$。どちらも指数で減るだけで、ゆれません。 $$x = \dfrac{x_0\,(s_1 e^{s_2 t} - s_2 e^{s_1 t})}{s_1 - s_2}$$

$\skrZeta = 1$ の前後で、式の形は違っても、グラフはなめらかにつながります（このサイトの検算では、$\skrZeta = 1 \pm 10^{-5}$ の答えが臨界の答えと重なること、3つの式がルンゲクッタ法の数値積分と重なることを確かめています）。

対数減衰率：1往復の時間 $2\pi/\sgsOmegaD$ の間に、$e^{-\skrZeta\skrOmegaN t}$ は $e^{-2\pi\skrZeta\skrOmegaN/\sgsOmegaD}$ 倍になります。$\skrOmegaN/\sgsOmegaD = 1/\sqrt{1-\skrZeta^2}$ なので、

$$\sgsDelta = \dfrac{2\pi\,\skrZeta}{\sqrt{1-\skrZeta^2}}$$