三角形は動かず、四角形はぐらつく機構の自由度

三角形は動かないのに、四角形は動く

工作用の細い木の棒と、棒の端をとめるピンを用意します。棒3本を輪につなぐと、三角形ができます。上の角を指で押しても、形は変わりません。

棒を4本にして、四角形を作ります。上の辺を横から押すと、四角形はぐにゃりと傾きます。棒の長さは1本も変わっていないのに、形が変わりました。

四角形の、左の棒の角度を1つ決めて手で押さえると、四角形はもう動きません。では、棒を5本つないだ五角形は、何か所を押さえれば形が決まるでしょうか。

予想してから読む五角形の輪の、1本を机に固定しました。形を1つに決めるには、何か所の角度を決めればよい？

A1か所B2か所C3か所

この単元で使う言葉

• 節（せつ）：機構をつくる1本1本の部品。棒・板・床。動かない節（床や機械の枠）を固定節といいます。
• 対偶（たいぐう）：2つの節のつなぎ目。ピンで回るものを回り対偶、溝ですべるものをすべり対偶といいます。
• 原動節：回して動かす節。モータや手で動かすところです。
• 自由度：形を1つに決めるのに、いくつの角度（や位置）を決める必要があるか。

公式はこれ

$$\skiF = 3(\skiNTwo - 1) - 2\skiP$$

四角形では $3 \times (4 - 1) - 2 \times 4 = 1$ です。1か所を決めれば形が決まる、という手ざわりと合っています。

3 と 2 がどこから来るのかを、コンパスを使って考えます。

棒は、相手のピンのまわりに円を描くだけ

長さの決まった棒

棒は伸びも縮みもしません。だから、棒の片方の端をピンでとめると、もう片方の端は、そのピンを中心にした円の上しか動けません。コンパスで円を描くのと同じです。

三角形：2つの円の交点で決まる

三角形の下の辺を床に固定します。上の角のピンは、左の棒の円の上にあり、右の棒の円の上にもあります。2つの円が交わる点は、上と下の2つだけです。棒をはずさずに上から下へ移ることはできないので、上の角は1点に決まります。どこも動けません。

四角形：1か所決めると、交点で決まる

四角形の下の辺を床に固定し、左の棒の角度を決めます。すると、左の棒の先のピンの位置が決まります。残る右上のピンは、「左上のピンを中心にした円」と「右下の床のピンを中心にした円」の交点です。これで全体が決まります。

角度を決める前は、左上のピンは円の上をどこへでも動けます。だから、四角形は1つの角度ぶん動けます。

五角形：1か所決めても、交点が決まらない

五角形で左の棒の角度を決めても、まだピンが2つ残ります。どちらのピンも、片側の相手が決まっていません。円の中心が動くので、交点も1つに決まりません。

もう1か所、たとえば右下の棒の角度も決めると、残りのピンは1つになり、2つの円の交点で決まります。

動きを数えて式にする

円で考えた結果を、数え方に直します。

1. 棒1本は、3つの向きに動ける。机の上に置いた1本の棒は、横にずらす・縦にずらす・回す、の3つの動きができます。机の上（平面）の動きは、この3つで全部です。

2. 床は動かない。節の数 $\skiNTwo$ のうち、固定節の1本は動きません。動ける棒は $\skiNTwo - 1$ 本で、動きは全部で $3(\skiNTwo - 1)$ です。

3. ピン1つで、動きが2つ減る。2本の棒の端をピンでとめると、2つの端は横にも縦にも、もうずれられません。残るのは、ピンのまわりに回ることだけです。ピン1つで、動きが2つ減ります。$\skiP$ 個のピンで $2\skiP$ 減ります。

$$\skiF = \underbrace{3(\skiNTwo - 1)}_{\text{動ける棒の動き}} - \underbrace{2\skiP}_{\text{ピンが止める動き}}$$

三角形・四角形・五角形・六角形で数えてみます。どれも、角の数と棒の数とピンの数が同じです。

五角形は2か所

表の五角形の行が、最初の問いの答えです。自由度は 2 なので、2か所の角度を決めると、形が1つに決まります。

$$\skiF = 3 \times (5 - 1) - 2 \times 5 = 12 - 10 = 2$$

角の数を $\sjyK$ とすると、輪1つの多角形では $\skiNTwo = \skiP = \sjyK$ なので、次のようにまとまります。

$$\skiF = 3(\sjyK - 1) - 2\sjyK = \sjyK - 3$$

角が1つ増えるごとに、棒の動きが 3 増え、ピンで 2 減ります。差し引きで、決める数が1つずつ増えます。

筋交いを入れると、動かなくなる

四角形の向かい合う角に、もう1本の棒（筋交い）を渡します。四角形は、三角形2つになります。

数えてみます。棒は1本増えて $\skiNTwo = 5$ です。筋交いの両端のピンには、棒が3本ずつ集まります。3本をとめるピンは、「1本目と2本目」「1本目と3本目」の2つのつなぎ目と数えます。だから対偶は2つ増えて $\skiP = 6$ です。

$$\skiF = 3 \times (5 - 1) - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$$

筋交い1本で、棒の動きが 3 増え、つなぎ目で 4 減ります。自由度は1つ減ります。

家の壁の骨組みは、柱と横木で四角形をつくっています。四角形のままだと、地震や風で横から押されたとき、傾いてしまいます。斜めの木を入れて三角形にすると、横から押されても形が変わりません。

鉄橋のトラスも、同じ考えです。鉄の棒を三角形に組めば、つなぎ目がピンでも形が変わらず、重いものを支えられます。自由度 0 の形を、構造といいます。動かすための形（機構）とは、ここで分かれます。

どの数字がいちばん効く？

形を1つ変えたとき、自由度がどう変わるかを並べます。

効くのは、棒とつなぎ目の数だけです。棒の長さや、どの棒を床にするかは、自由度を変えません。それらが変えるのは、どう動くかです。くわしくは 4節リンク（グラスホフの条件） で見ます。

すべり対偶でも、数え方は同じ

ピンの代わりに、溝の中をすべる部品でつないでも、動きは2つ減ります。残るのは溝に沿ってすべる動きだけで、溝からはみ出す動きと、回る動きの2つが止められるからです。

自動車のエンジンのピストンクランク機構は、固定節（エンジンの本体）・クランク・連接棒・ピストンの4つの節でできています。つなぎ目は、ピンが3つと、ピストンがシリンダの中をすべる所が1つで、4つです。

$$\skiF = 3 \times (4 - 1) - 2 \times 4 = 1$$

クランクの角度を1つ決めれば、ピストンの位置が決まります。くわしくは ピストンクランク機構 で見ます。

工作の五角形に戻る

最初の五角形の枠は、2か所の角度を決めると、形が1つに決まりました。言い換えると、モータが2つあれば、五角形の形を思いどおりに決められます。床の2つのピンにモータを1つずつ付けると、上の角の点を、机の上のどこへでも動かせます。

自由度 2 の機構は、ほかにもあります。図を写して大きく描く道具のパンタグラフは、針を机の上のどこへでも動かせる、自由度 2 の機構です（パンタグラフ（平行四辺形で拡大する））。

動かしてみよう

角の数 $\sjyK$ を変えると、輪の形が変わり、自由度 $\skiF$ が出ます。原動節（朱の棒）の角度 $\skiTheta$ を動かすと、四角形では全体が1つの形に決まったまま動きます。三角形では、どこも動きません。

「▶ 自動で動かす」を押すと、原動節が行ったり来たりします。三角形に切り替えても押したままにして、形が動かないことを比べてください。

五角形・六角形では、同じ $\skiTheta$ でも組める別の形を、破線で重ねて描きます。筋交い $\sjyB$ を 1 本にすると、自由度が1つ減ります。

棒の長さや支点の位置を自分で決めて組んでみたい人は、リンク機構のツールで試せます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1角の数 k を「三角形」にして、θ のスライダーを動かす。図の三角形の形が変わるかを見る（まだ）
2. 2k を「五角形」にする。θ を決めたまま、実線と破線の2つの形を見比べる（まだ）
3. 3k を「四角形」に戻し、筋交い b を「1本」にする。結果の欄の n・p・F を見る（まだ）

k輪にした多角形の角の数

三角形四角形五角形六角形

b中に足す棒（筋交い）の本数

なし1本

θ原動節の角度（クランク角）−°＋

▶ 自動で動かす

いまの図を残して比べる自由度は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{F} = 3(\htmlClass{q-geometry}{n} - 1) - 2\htmlClass{q-geometry}{p}$$$$= 3 \times (4 - 1) - 2 \times 4$$$$= 1$$

節の数（固定節を含む）

$\htmlClass{q-geometry}{n} = 4\$

対偶の数

$\htmlClass{q-geometry}{p} = 4\$

自由度

$\htmlClass{q-geometry}{F} = 1\$

途中の計算（導出）を見る

1. 節の数（多角形の棒＋筋交い。床の棒も1本と数える）

   $$\htmlClass{q-geometry}{n} = \htmlClass{q-geometry}{k} + \htmlClass{q-geometry}{b} = 4 + 0 = 4$$

2. 対偶の数（ピンの数。3本が集まるピンは2つと数える）

   $$\htmlClass{q-geometry}{p} = \htmlClass{q-geometry}{k} + 2\htmlClass{q-geometry}{b} = 4 + 2 \times 0 = 4$$

3. 自由度（動ける棒1本に3つの向き、ピン1つで2つ減る）

   $$\htmlClass{q-geometry}{F} = 3(\htmlClass{q-geometry}{n} - 1) - 2\htmlClass{q-geometry}{p} = 3 \times (4 - 1) - 2 \times 4 = 1$$

よくある勘違い

「床は動かないから、節に数えない」

床（固定節）も1つの節として $\skiNTwo$ に入れます。式の $\skiNTwo - 1$ で、床の1本を引いてあります。床を数えずに四角形を $\skiNTwo = 3$ とすると、$3 \times 2 - 2 \times 4 = -2$ になり、手ざわりと合いません。

「3本の棒が集まるピンも、1つと数える」

ピン1つでとめるのは、2本の棒どうしです。3本が集まるピンは、つなぎ目が2つあると数えます。

「自由度 0 なら、どんな長さでも動かない」

式は、棒とつなぎ目の数だけを見ています。長さが特別にそろうと、式より多く動くことがあります。平行四辺形の向かい合う辺の間に、もう1本、同じ長さの棒を平行に渡すと、式では $3 \times (5 - 1) - 2 \times 6 = 0$ ですが、実際には平行四辺形のまま動けます。平行四辺形の性質は パンタグラフ（平行四辺形で拡大する） で使います。

この公式が使える条件

• 節がすべて同じ平面の中で動く（立体に動く機構は、棒1本の動きが 6 になり、式が変わる）
• つなぎ目は、回り対偶かすべり対偶（どちらも動きを2つ減らす）
• 棒は曲がらず、長さが変わらない
• 長さが特別にそろっていない（平行な棒が並ぶと、式より多く動くことがある）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

棒1本の位置：平面の上の棒1本の位置は、片方の端の座標 $(x, y)$ と、棒の向きの角度 $\phi$ の3つで決まります。もう片方の端は、長さが決まっているので、この3つから計算できます。$\skiNTwo$ 本の節のうち、固定節を除いた $\skiNTwo - 1$ 本で、決める数は $3(\skiNTwo - 1)$ です。

ピン1つの条件：棒 1 の端と棒 2 の端をピンでとめると、「2つの端の $x$ 座標が同じ」「$y$ 座標が同じ」の2つの式ができます。式が2つ増えると、自由に決められる数は2つ減ります。すべり対偶では、「溝からはみ出さない」「溝と同じ向きを保つ（回らない）」の2つの式です。

差し引き：決める数から、式の数を引いたものが、自由に決められる数（自由度）です。

$$\skiF = 3(\skiNTwo - 1) - 2\skiP$$

三角形で確かめる：床に2つのピンがあり、上の角のピンの位置 $(x, y)$ を決める式は「左のピンからの距離が左の棒の長さ」「右のピンからの距離が右の棒の長さ」の2つです。決める数 2、式 2 で、自由度は 0 です。式を解くと、2つの円の交点が出てきます。

筋交い：棒を1本足すと、決める数が 3 増えます。両端を、すでにあるピンにとめると、式が 2 × 2 = 4 増えます。差し引き 1 減ります。六角形に筋交いを3本入れて三角形4つに分けると、$3 \times (9 - 1) - 2 \times 12 = 0$ で、動かなくなります。